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2variables..1 équation

TidusTidus
dans Les-mathématiques
Bonjour a tous, je colle sur ce petit probleme

x^y = y^x avec le couple (x,y) appartenant a N étoile.

J'ai pas mal cherché, composer avec ln, utiliser l'arithmétique ...mais rien...
please HELP merci :) niveau : mpsi

Réponses

  • jean Lismonde0jean Lismonde0
    bonjour

    solutions évidentes: les couples (2;4) et (4;2)

    mais sont-ils les seuls ? et surtout le démontrer est autre chose..

    cordialement
  • Le barbu raséLe barbu rasé
    Bon alors rapidos.

    La diagonale (n,n) avec n appartenant à N* est évidemment un ensemble de couples solutions. Pour les autres, on peut supposer que x<y.

    occupe-toi successivement avec les points suivants :
    1) l'équation équivaut à ln(x)/x = ln(y)/y
    2) étudie la fonction x->ln(x)/x
    3) déduis de cette étude que x<e et y>e
    4) conclus, sachant que x est entier
  • TidusTidus
    L'étude de fonction me donne : croissante sur [0,e] a valeur dans ]-infini , 1/e ] et décroissante de [e, +infini[ a valeur dans [ 1/e, 0 ]
    et ensuite je vois pas tro ??!! merci
  • guiguicheguiguiche
    Quels sont les entiers x de [0,e] qui conviennent alors ?
  • TidusTidus
    Mais je comprends pas tellement, j'ai ma représentation graphique, j'obtiens une courbe croissante sur [0,e] a valeur dans ]-infini , 1/e ] et décroissante de [e, +infini[ a valeur dans [ 1/e, 0 ] ... et je ne vois pas trop ce que je peux en déduire ..
  • guiguicheguiguiche
    existe-t-il un entier x de [0,e] et un entier y de [e,+oo[ tels que f(x)=f(y) ?
  • TidusTidus
    Juste une résolution graphique est possible alors ? Vu que x appartient a N étoile, juste x = 1 et x = 2 conviennent ?
  • guiguicheguiguiche
    Pour x=1, existe-t-il un y qui convient ?
    Pour x=2, ...
    L'entier y est-il alors unique ?
  • TidusTidus
    Pour x=1, lentier y=1 convient,
    Pour x = 2, lentier y =4 convient

    Mais pourquoi je ne retrouve pas toute les solutions x=y ?
  • guiguicheguiguiche
    y=1 n'est pas dans [e,+oo[.
    La méthode proposée ne recherche que les couples d'entiers distincts. Libre à toi d'ajouter à la liste les "couples égaux".
  • TidusTidus
    Donc pour résumer seul la liste des couple égaux sont solution, ainsi que le couple (2,4) ( et (4,2) ...).
    Mais quand on fixe x = 2, comment trouver le 4 autre que graphiquement et en tatillonant ? car cela revient a résoudre l'équation ln(2)/(2) = ln(y)/(y)
    soit Racine 2 = y ^ (1/y) Mais comment retrouver 4 ?

    Merci
  • guiguicheguiguiche
    Continuité et stricte monotonie de la fonction sur les bons intervalles.
  • TidusTidus
    Graphiquement, je comprends bien le truc. mais pour une résolution numérique, comment retrouver y =4 quand on fixe x = 2 ?
  • guiguicheguiguiche
    Si a=f(2) alors quelles sont les solutions de f(y)=a sur [e,+oo[ ? (théorème de la bijection)
  • TidusTidus
    f(x) = ln (x) / x
    f( 2) = ln 2 / 2 = a
    f(y) =a = ln 2 /2 d'ou y = f^-1 (a) ? mais la réciproque de ln x / x ...
    je ne vois pas ...
  • guiguicheguiguiche
    Réciproque sur quel intervalle ?
  • TidusTidus
    Enfait, donc je trouve x< e et y > e
    si x = 1 pâs de solution
    si x = 2, je m'apercois que 4 est solution mais comment le démontrer rigoureusement ?
  • guiguicheguiguiche
    ln(4)/4=2ln(2)/4=ln(2)/2.
    Pour l'unicité, je répète: théorème de la bijection.
  • bisambisam
    On peut tout aussi bien remarquer que l'on a bien ln(2)/2=ln(4)/4 et que d'après le tableau de variations, il ne peut pas y avoir d'autres solutions à l'équation ln(y)/y=ln(2)/2.
    A un niveau supérieur, on parlerait d'injectivité de la fonction...
  • TidusTidus
    d'accord donc pour résumer et conclure, les seuls solutions appartenant a N étoile sont la les couples égaux, et les couples (2,4) et ( 4,2)? est-ce bien cela? merci beaucoup
  • bisambisam
    oui ! Cela a déjà été dit...
  • guiguicheguiguiche
    tu as dit que le "niveau" de la question est MPSI: je crois que l'injectivité ou le théorème de la bijection s'impose.
  • TidusTidus
    ca marche, l'unicité est primordiale :p Merci bon appétit ^^
  • pépé0pépé0
    j'aimerai poser la meme question dans la mesure ou $\ z_1$ et $\ z_2$ sont deux elements de $\ \C$ , est ce que c'est la meme chose ???
  • Guimauve0Guimauve0
    Dans $\Q$ par exemple, pour tout $\alpha \in \N - \{ 0, 1 \}$ le couple $(\displaystyle{\alpha^{\frac{1}{\alpha - 1}}, \alpha^{\frac{\alpha}{\alpha -1}}}})$.
  • Le barbu raséLe barbu rasé
    Oulhà Guimauve, tes solutions ne sont pas toutes dans Q (il y a (sqrt(3),sqrt(27)), et il t'en manque un paquet (comme ((5/4)^4,(5/4)^5)).

    Pépé, dans C, c'est délicat : la relation x R y <=> (x,y) est solution n'est plus une relation d'équivalence... ça devient chaud !
  • Guimauve0Guimauve0
    Houlà oui c'est bien sûr dans $\R$ !
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