Etude de fonction...
J'ai besoin d'un petit coup de main.
Voici le sujet :
Une fonction f : [0,1] -> R+, x -> f(x), vérifie :
- sa dérivée f'(x) < 0 ;
- l'opposé de son élasticité est supérieur à 1 : - x f''(x) / f'(x) > 1.
Voici ma question : ces propriétés impliquent-elles, comme je le crois, que f(x) tend vers l'infini quand x tend vers 0 ?
Voilà. C'est tout.
Peut-être pas transcendant, mais ça m'aiderait bien.
Merci.
Seb.
Voici le sujet :
Une fonction f : [0,1] -> R+, x -> f(x), vérifie :
- sa dérivée f'(x) < 0 ;
- l'opposé de son élasticité est supérieur à 1 : - x f''(x) / f'(x) > 1.
Voici ma question : ces propriétés impliquent-elles, comme je le crois, que f(x) tend vers l'infini quand x tend vers 0 ?
Voilà. C'est tout.
Peut-être pas transcendant, mais ça m'aiderait bien.
Merci.
Seb.
Réponses
-
La dérivée est négative donc la fonction est décroissante ; la fonction ne tend pas vers l'infini (à moins qu'il faille comprendre $-\infty$).
-
Après deux intégrations, j'obtiens :
$\forall a \in ]0,1], \; f(a) < f(1) + f'(1) \ln(a)$
d'où une limite de $-\infty$ en 0. -
Encore faut-il que la dérivée soit intégrable...
-
Non, il s'agit bien de la limite de f(x) en 0.
Comme f(x) est positive et décroissante sur [0,1], elle a un max en 0 (atteint ou pas) et un minimum en 1. -
f doit être deux fois dérivable puisqu'on parle de la dérivée seconde.
<BR>concernant f'', je ne suis pas persuadé qu'il faille une hypothèse particulière puisque f''/f' me paraît intégrable.<BR> -
au temps pour moi.
-
J'ai l'impression d'avoir écrit des bétises dans l'inégalité. De plus, il faudra queje lise mieux les messages.
Je me tais. -
Pour Rouillon :
La question est à poser correctement :
*Soit f est définie et dérivable sur [0,1] (fermé en 0) et elle est continue, donc sa limite en 0 est f(0);
*Soit l'énoncé est f est définie et dérivable deux fois sur ]0, 1] et on cherche ce qu'elle fait en 0. J'imagine que c'est ta question ?
Cordialement -
Pour Gerard :
Oui, merci pour cette clarification. L'énoncé initial est imprécis.
La question est bien : si une fonction f vérifie les propriétés données (sur f' et f'') sur ]0,1], peut-elle avoir une limite finie en 0 ?
Cordialement. -
Dans ce cadre (f inconnue en 0), et en supposant f suffisament régulière pour que les intégrales existent, j'ai réécrit l'inéquation sous la forme :
$ \frac{f"(x)}{f'(x)} \leq \frac{-1)}{x}$
En intégrant on trouve ln |f'(a)| >= ln|f'(1)| - ln (a) qui donne, en tenant compte du signe de f' : $\f'(a)\leq \frac{f'(1)}{a}$ où a est quelconque dans ]0, 1 ]. Donc on peut intégrer à nouveau $\f'(x)\leq \frac{f'(1)}{x}$ de a à 1 et obtenir
$ f(a) \geq f(1) + f'(1) ln(a) $
qui justifie que f tend vers l'infini en 0.
Tu vois, guiguiche, tu étais presque au but.
Cordialement -
Dans ce cadre (f inconnue en 0), et en supposant f suffisament régulière pour que les intégrales existent, j'ai réécrit l'inéquation sous la forme :
$ \frac{f"(x)}{f'(x)} \leq \frac{-1)}{x}$
En intégrant on trouve ln |f'(a)| >= ln|f'(1)| - ln (a) qui donne, en tenant compte du signe de f' : $\ f'(a)\leq \frac{f'(1)}{a}$ où a est quelconque dans ]0, 1 ]. Donc on peut intégrer à nouveau $\ f'(x)\leq \frac{f'(1)}{x}$ de a à 1 et obtenir
$ f(a) \geq f(1) + f'(1) ln(a) $
qui justifie que f tend vers l'infini en 0.
Tu vois, guiguiche, tu étais presque au but.
Cordialement
Texte rectifié(du moins j'espère) -
Merci de cette solution.
Avant de l'étudier plus en détail, il me semble qu'on peut aussi en conclure que si on change la propriété sur l'élasticité en 0 < - x f''(x) / f'(x) < 1, on aboutira à la conclusion inverse, que f(0) est forcément définie ?
Merci encore. Cordialement. -
Je m'étais trompé dès le début (<1 au lieu de >1) mais en reprenant les calculs, je ne trouve plus du tout la même chose.
D'autre part, je ne vois pas bien quelle utilisation on peut faire de cette inégalité. -
Pour information sur cette inégalité, voici quelques éléments :
Je suis parti d'un problème d'optimisation, où il s'agit de minimiser la fonction objectif :
f(x) + g(y) + a x y,
où : a > 0 est un paramètre ; x et y sont les variables de contrôle.
L'inégalité donnée ci-dessus, imposée à f et g, permet de convexifier la fonction objectif et garantit l'unicité de la solution.
Cordialement -
Salut Rouillon
" on aboutira à la conclusion inverse, que f(0) est forcément définie " Je n'en suis pas sûr. L'inégalité finale s'inverse, mais elle ne permet pas de prévoir quoi que ce soit sur la limite de f en 0, car on sait seulement que f(a) est inférieur à une quantité qui tend vers l'infini.
Pour Guiguiche :
Le calcul est assez subtil, car il faut tenir compte du signe de f'(x), qui est négatif. En particulier quand on passe de |f'(a)|>= |f'(1)|/ a à l'inégalité sur f'(a) et f'(1), il faut penser qu'on multiplie par -1, ce qui change le sens de l'inégalité.
Cordialement à tous deux
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