matrice
dans Les-mathématiques
slt tout le monde
je vous écris pour qu'on me file un petit coup de main sur un exo
en fait, on a un endomorphisme f d'un espace vectoriel E de dim 3 tel que f^2 différent de 0 et f^3= 0
et on me demande de montrer que l'ensemble des endomorphisme commutant avec f est le sous -espace vectoriel de L(E) engendré par Id,f,et f^2
comme aide on me dit d'étudier les noyaux de f,f^2 et f^3
le problème c'est que je trouve des truc trop bizarre pour les noyaux
en effet on va avoir f(x)=0 si et seulement si x= 0
de meme f(f(x))=0 si et seulement si f(x)=0 soit x=0 mais le problème c'est que dans les hypothèses, f(f(x))diférent de 0 donc je ne vois pas comment étudier les noyaux et donc je ne vois pas comment aborder la question!
je remercie d'avance tout ce qui m'aideront!
je vous écris pour qu'on me file un petit coup de main sur un exo
en fait, on a un endomorphisme f d'un espace vectoriel E de dim 3 tel que f^2 différent de 0 et f^3= 0
et on me demande de montrer que l'ensemble des endomorphisme commutant avec f est le sous -espace vectoriel de L(E) engendré par Id,f,et f^2
comme aide on me dit d'étudier les noyaux de f,f^2 et f^3
le problème c'est que je trouve des truc trop bizarre pour les noyaux
en effet on va avoir f(x)=0 si et seulement si x= 0
de meme f(f(x))=0 si et seulement si f(x)=0 soit x=0 mais le problème c'est que dans les hypothèses, f(f(x))diférent de 0 donc je ne vois pas comment étudier les noyaux et donc je ne vois pas comment aborder la question!
je remercie d'avance tout ce qui m'aideront!
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Réponses
Comme f² n'est pas nul, tu peux juste dire que dim(ker(f²)) >0.
Par exemple (x,y,z) -->(0,x,y) convient à l'énoncé.
Je te laisse y réfléchir.
Cordialement
"de meme f(f(x))=0 si et seulement si f(x)=0 soit x=0 mais le problème c'est que dans les hypothèses, f(f(x))diférent de 0"
Je crois que tu confonds f(f(x))!=0 et f o f different de 0.
Dans le premier cas, l'image de x (x donné) est par f o f est differente de zero.
Dans le second cas, l'endomorphisme n'est pas l'endomorphisme nul !
Cordialement
$r(f) \leq 3=dim(E)$.
Si $rg(f) = 3$, alors $f$ est surjectif donc un isomorphisme, donc $f^3$ aussi, en contradiction avec $f^3=0$.
Prends $x\in E$ tel que $f^2(x) \neq 0$ et montre que $(x,f(x),f^2(x))$ forme une famille libre de $E$, et tu dois pouvoir en déduire les dimensions des noyaux de $f$ et $f^2$.
Sauf erreur,
cordialement.
soit f un endormorphisme de E Kev de dimension 3
soit K[f] l'anneau engendré dans End(E) par K et f
K étant les homothéties
il est facile de voir que K[f] l'anneau des polynômes en f est inclu
dans Cf les commutant à f
l'autre inclusion est moins évidente.
MAIS on sait que f est nilpotent d'ordre 3.
Prenons B=(x,f(x),f²(x)) avec x dans E privé de kerf² qui a du sens!
on montre alors que B est une base, c'est simple il suffit de voir qu'elle est libre.
ensuite on peut montrer que K[f]~K[X]/(X^3) et que donc ID,f,f² est une
K-base de K[f].(le théorème de factorisation et la division euclidienne et B se cache derrière la véracité de cet iso)
soit alors v dans Cf
on a que v(x)= a x+bf(x)+cf²(x).
où abetc sont les coordonnées de v(x) dans B.
MAIS elles dépendent à priori de x
en fait on montre que v = aId + b f + c f²
en effet comme v commute à f ces deux applications coincident sur B donc
sont égales.
voilà si tu as des questions
voici mon mail : lsalvador@tiscali.fr
laurent.