Intégrale de Vardi (ref)

Hmm la pièce jointe n'est pas passée...
<BR>
<BR>Voici la même chose en lien : <a href=" http://thevelho88.free.fr/books/AMS1988-4.pdf"&gt; http://thevelho88.free.fr/books/AMS1988-4.pdf</a>.<BR&gt;

Pas accessible ?
C'est bizare ça marche bien ici.

Re-essaie et attends un peu, c'est peut-être le fait que c'est un PDF qui fait ralentir ton navigateur.

Si ça ne marche toujours pas je te l'envoie par mail.

Bon week-end un jeudi soir ? Il y en a qui ont de la chance.

Pas chez moi: The velho pédale dans la choucroute.

Je n'aime pas trop la choucroute...
<BR>
<BR>Si tu veux je te l'envoie par mail f jaclot (mais c'est assez gros comme l'a dit Yama donc c'est à toi de voir).
<BR>
<BR>Ton navigateur affiche un message d'erreur ou alors il ne se passe juste rien ?
<BR>
<BR>Pour ceux qui voudraient savoir, le but de l'article est de montrer que
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="305" HEIGHT="64" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/23/83259/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \int_{\pi/4}^{\pi/2}\log\log\tan xdx = \frac{\pi}{2}\log......\frac{3}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}\sqrt{2\pi}\right)
\newline $"></DIV><P></P>
en utilisant des technique de théorie des nombres analytique...<BR>

"En utilisant des techniques de théorie des nombres analytiques"

Tu veux dire de théorie analytique des nombres ? Si oui, je serais curieux de voir ça !!

Borde.

bonjour

il y a quelques mois Anselme-Olivier avait déjà évoqué cette intégrale qui peut s'écrire avec le changement tanx=exp(u)

(1/2) intégrale sur R+ de lnu.du/chu

on obtient le résultat en dérivant par rapport à x et en faisant x=0

l'intégrale sur R+ de u^x.du/chu=Zai(x+1).Gamma(x+1)

avec Zai fonction Zéta alternée de base les nombres impairs

compte tenu des résultats Z'ai(1)=(pi/4)(y+ln(pi²/8w²))

et Zai(1)=pi/4 et aussi Gamma'(1)=-y

avec y (petit gamma) constante d'Euler et w (oméga) la constante de la lemniscate, on trouve finalement le résultat

intégrale de Vardi=(pi/4)ln(pi²/8w²)


cordialement

Peut-on compresser ce fichier ?

Borde.

Bruno, le lien que je donne plus haut est justement un lien vers ma page perso sur laquelle j'ai uploadé le fichier.

Probaloser, as-tu un moyen de ``rogner'' un fichier PDF en ne gardant que quelques pages ? (Ce qui aurait dû être fait ici...)
J'avour que j'ai pas trop cherché d'infos sur ça, ça doit se trouver un éditeur de PDF direct.

OK ! Grâce à Rémi, j'ai pu lire ce papier, et je l'en remercie pour la conversion effectuée. Voici mes impressions, pour autant que cela puisse être intéressant :

1. Ce papier n'a de rapoort avec la TAN que parce qu'il se sert d'une fonction $L$ de Dirichlet, en l'occurence la fonction $L$ associée au caractère de Dirichlet (réel primitif) $\chi_4$ modulo $4$, celui qui sert à démontrer l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod 4$. Il est très important de remarquer que ce caractère est {\bf pair}, car {\it l'expression} de l'équation fonctionnelle de $L$ en dépend.

2. Le reste est purement calculatoire. Le point important est d'avoir relié son intégrale à cette fonction $L$. D'un point de vue purement arithmétique, je ne vois rien qui amène quelque chose de réellement nouveau...mais je peux me tromper, bien sûr!

3. A noter, dans sa généralisation, ce qu'il appelle "quadratic reciprocity theorem" (avant-dernière page) n'est rien d'autre que la {\bf formule du nombre de classes} appliqué au cas particulier du corps quadratique imaginaire $\Q(\sqrt {-1})$, ce qui devrait plaire à Shadow, s'il nous lit toujours !

Bref, je dirais ceci : rien de nouveau concernant l'arithmétique, mais un travail original concernant un lien intégrale - fonction $L$. J'imagine que l'on pourrait faire de même avec n'importe quelle série de Dirichlet, comme par exemple les fonctions $\zeta_{\K}$ de Dedekind.

Pour finir et à titre d'exemple, voici un lien série de Dirichlet - série entière, que l'on peut trouver dans le {\bf Titchmarsh} : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {a_n}{n^s} = \frac {1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-nt} \right ) t^{s-1} \, dt$$ dont la démonstration repose sur l'inversion de Mellin. J'ai même cru un moment que l'auteur de cet article allait nous redémontrer ce résultat bien connu !

Borde.