équation différentielle

klara · March 2006

r² + ar + b = 0 (l’équation caractéristique)

1) On suppose que l’ équation caractéristique admet 2 racines réelles r1=/=r2.
a) Montrer alors que f1 : e^r1x et f2 : e^r2x sont solutions de l’équation différentielle : y’’+ ay’+ by = 0 ( § )
b) Montrer que la famille (f1,f2) est libre
c) En déduire qu’une solution générale de ( § ) est de la forme :

y(x)=Ae^r1x + Be^r2x , avec A, B appartient R

2) On suppose, que l’équation caractéristique admet 2 racines double r .
Montrer qu’une solution générale de (§) est de la forme :

y(x)= (A + Bx)e^rx avec A, B appartient R

3) On suppose finalement que l’équation caractéristique admet 2 racines complexes conjuguées c + id et c - id (c et d des réels)
a) Etablissez des relations entre c, d appartient à R et A, B appartient à R l’équation différentielle (§).
b) montrer que la solution générale de ( § ) est alors de la forme :

y(x)= e ^cx ( Acos(dx) + Bsin(dx))

Saïd7 · March 2006

Bonjour klara : qu'as tu fais

Foufoux · March 2006

Salut,

Un moindre de politesse n'a jamais tué personne !

Bref, quel est ton probleme ?
Dis nous là où tu bloques, on pourra alors d'aider de manière efficace.

Cordialement,
Foufoux

klara · March 2006

Bonjour
Mon problème est que je ne sais pas comment commencer.
Je suis actuellement en 1ère année de licence de math mais comme j'ai fait un bac ES je n'ai jamais vu les équations exponentielles
J'espère que vous allez pouvoir m'aider.
Merci

Sigma · March 2006

1)a) On apprend à dériver les exponentielles en terminale ES, ce qui permet de résoudre la question.
b) Que dis ton cours ? Qu'est ce qu'une famille libre ?
c) Que dis ton cours ?

@+

jp8 · March 2006

J'ai une question naïve à propos de cet exercice :
Comment peut-on démontrer avec le moins d'analyse possible que l'ev $E$ des solutions est de dimension 2 ?
L'application linéaire $u : E \longrightarrow \R^2$ telle que $u(f)=(f(0),f'(0))$ est surjective, facile on a deux solutions indépendantes, mais l'injectivité, sans le théorème de Cauchy, ça peut se démontrer ?

jp8 · March 2006

juste pour remonter ma question

oumpapah2 · March 2006

Bonjour

question interessante à laquelle je fournis la réponse possible suivante:
(utilisable en terminale..)

tout d'abord par un changement de fonction inconnue on se raméne bien sur
soit à y" +a²y =0 avec a>0 (1)
soit à y" -a²y=0 avec a<0 (2)
soit à y"=0 (3)

la situation (3) est banale..

la situation (1) se regle facilement avec l'integrale premiere ( des "forces vives" en physique ) y'²+a²y²=cte
si y et y' s'annulent en un point alors la cte est nulle d'ou y et y' nulles partout.. on est content

reste la situation (2)
on resout simplement

avec la methode qui se généralisera quand on a une sol particuliere)
on a exp(ax) solution particuliere , on pose y=u.exp(ax)
et on est conduit à (u"+2au')exp(ax)=0
soit u"+2au'=0
d'ou u'+2au= b etc..
finalement y est combi. linéaire de exp(ax) et exp(-ax) d'ou dim au plus 2
pour l'espace des solutions..

[Corrigé selon ton indication. AD]

Oump.

oumpapah2 · March 2006

re

lire bien sur y'²+a²y²=cte à la ligne ad hoc..

jp8 · March 2006

Merci beaucoup m'sieur Oump pour cette réponse.
Je planche là-dessus pour bien comprendre.
J'en retiens en tout cas que, comme pressenti, il faut utiliser un résultat type th de Cauchy (ce que tu proposes est de la même eau, non ?) pour montrer l'isomorphisme.

Prof_ · March 2006

Oumpapah, on peut aussi remarquer que sur l'espace des solutions, le polynôme (X-r1)(X-r2) annule l'opérateur dérivée. Celui ci restreint à cet espace est donc diagonalisable et l'espace des solutions est somme directe des deux espaces propres de l'opérateur dérivée associés aux valeurs propres respectives r1 et r2 soit vect(x->exp(r1x)) et vect(x->exp(r2x)). Le cas d'une racine double demande la réduite de Jordan mais peut se faire de manière identique.

jp8 · March 2006

Prof :
je ne comprends pas comment on démontre que ce polynome (X-r1)(X-r2) annule l'opérateur dérivé, sauf à savoir déjà que les solutions sont des combinaisons linéaires de x->exp(r1x) et x->exp(r2x) ?

Prof_ · March 2006

On se place sur l'espace vectoriels E={y C2 sur R, vérifiant y''+ay'+by=0} et on suppose X²+aX+b=(X-r1)(X-r2). Si D est l'opérateur dérivée D(y)=y', on note que E est stable par D et que D²+aD+bI est nul sur E par définition donc que D restreint à E est annulé par le polynôme scindé à racines simples X²+aX+b=(X-r1)(X-r2), le reste en découle.

jp8 · March 2006

Ok je vois. Il y a deux valeurs propres potentielles, on verifie aisément que les deux sont bien valeurs propres avec les fonctions exponentielles ad hoc qui sont des vecteurs propres, et la détermination des sous espaces propres s'obtient par résolution d'équations différentielles du premier ordre : chaque sous-espace propre est de dimension 1, pas plus.
D'où la dimension de l'espace E des solutions : 1 + 1.
Merci pour cet éclairage nouveau (pour moi).

Prof_ · March 2006

A titre d'information, on peut faire pareil pour les suites vérifiant une récurrence linéaire u(n+2)+a.u(n+1)+b.u(n)=0.

jp8 · March 2006

Oui, c'est clair.
Si je cherche à prendre un peu de distance :
La réduction permet de ramener (dans certains cas ?) la résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre n à des équations différentielles d'ordre 1.
Tout va bien j'imagine (dans C) si les racines de l'équation caractéristique (le polynome annulateur de l'application dérivée) sont distinctes.
Ou puis-je trouver un exercice qui traite dans cette optique (même/surtout sur un exemple) le cas où le polynome a des racines multiples ?

Prof_ · March 2006

Dans le cas où il y a une racine double, tu te retrouves avec une décomposition en sous espaces caractéristiques. Tu es ramené à l'étude des équations (D-aI)^k=0. Or

$$ Y=y.e^{-ax}, Y^{(k)}=(D-aI)^k(y).e^{-ax} $$

donc y est dans Ker(D-aI)^k ssi Y est dé dérivée kième nul donc Y polynôme de dérivée k-1 au plus. La décomposition en somme de sous espaces caractéristiques permet d'obtenir le résultat.

Je n'ai pas de références à te donner, c'est un TD que j'ai mis au point pour montrer l'intérêt de l'algèbre en analyse, mais je pense que ça doit être bien classique...

Prof_ · March 2006

Dans le cas où il y a une racine double, tu te retrouves avec une décomposition en sous espaces caractéristiques. Tu es ramené à l'étude des équations (D-aI)^k=0. Or

$$ Y=y.e^{-ax}, Y^{(k)}=(D-aI)^k(y).e^{-ax} $$

donc y est dans Ker(D-aI)^k ssi Y est de dérivée kième nul donc Y polynôme de degré k-1 au plus. La décomposition en somme de sous espaces caractéristiques permet d'obtenir le résultat.

Je n'ai pas de références à te donner, c'est un TD que j'ai mis au point pour montrer l'intérêt de l'algèbre en analyse, mais je pense que ça doit être bien classique...

[doublon, j'ai oublié de cocher le Latex...]

oumpapah2 · March 2006

Bonsoir

oui prof , bien sur!
je voulais donner éventuellement des idées au niveau disons terminale ou sup ou l1 sans outil sophistiqué à ce niveau..
( l'utilisation de l'integrale 1ere tres utile en physique est à note )

Au niveau licence( ou spé ou L2) c'est autre chose et tant qu'on y est tu as raison de mettre dans le meme paquet l'etude des récurrences linéaires.

( je faisais ça en cours à mes zebres )

Oump.

Prof_ · March 2006

C'est sur que ça n'est pas toujours facile de cibler le niveau de celui qui a posé la question, j'aurais bien parié sur Spe justement ou bien L2/L3 parce qu'il a évoqué le théorème de Cauchy Lipschitz, mais peut être que je me trompe. C'est pour ça que je n'avais pas parlé du cas des racines doubles au début (quand je penses que j'avais fait ça en Sup pour des équations d'ordre 2 dans un TD de 2 heures, ça me laisse rêveur...)

jp8 · March 2006

Suite au message de Oumpapah :

Le changement de variable est $y = z.e^{-ax/2}$ :
$y''+ay'+by=0 \Leftrightarrow z''+\left(b-\dfrac{a^2}{4}\right)z=0$

Cas (1) :
$(E) : y''+a^2y=0 \Longrightarrow 2y'y''+2a^2yy'=0 \Longrightarrow y'^²+a^2y^2=C^{te}$
donc si $f$ est solution de $(E)$ telle que $u(f)=(f(0),f'(0))=(0,0)$ alors la constante est nulle et donc f est identiquement nulle. D'où l'injectivité de l'application $u$.

Les autres cas sont clairs, je pense.

Merci encore.

loyl · March 2006

bonjour,
je voudrai savoir comment on fait pour résoudre une équation différentielle du genre y'+µy=A avec la démonstration de la variationde la constante
merci

équation différentielle

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Bonjour!

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