Perturbation de l'opérateur de Dirac

pierro · January 2006

Bonjour,

Problème : Si je veux calculer la perturbation de l'opérateur Dirac noté D par une perturbation V

Pour calculer le spectre discret de (D+V ) est-ce qu'on calcule d'abord le spectre discret de D puis celui de V et on ajoute ?

Cauchy0 · January 2006

Tu parle de l operateur de dirac $D$ de la geometrie spinorielle?

Probaloser · January 2006

On a l'impression que si on te répondait "oui" tu ne te poserais pas plus de questions... Mais je me trompe peut-être...

Qu'est-ce qui te fait penser que ça pourrait être vrai ?

Cauchy0 · January 2006

Bah Probaloser Si c'est l'opérateur de Dirac de la géomtrie spinorielle alors c'est un probleme ouvert !!!

pierro · January 2006

Réponse interressante Probaloser

Disons que c'est un commencement, aprés d'aprés la réponse je testerai sur des exemple pour V particulier, parcequ'en fait je ne sais pas si ce que j'ai dit est juste d'ou je vous pose la question

.

Mais prenons le cas d'un opérateur tout à fait général A et une perturbation V.
Quel est le spectre discret de (A+V) (pour rappel, le spectre discret étant les valeurs propres mais isolé).

Probaloser · January 2006

Tu veux dire que tu conjecture la somme complètement au hasard sans aucune raison ???

Cauchy : qu'est-ce qui est ouvert ?

pierro · January 2006

Pour probaloser : oui

Je ne sais pas. Dans un cas général on fait comment ? avec un opérateur A et une perturbation V. Quel est le spectre discret de B=(A+V) ?
si ça peut vous aider à cerner le cadre, pas loin y a le théoréme de Kato-Rellich, pour assurer l'aspect auto-adjoint de B.

Cauchy0 · January 2006

Probaloser
Les valeurs propres de l operateur de Dirac en geometrie spinorielle est un probleme ouvert
L operateur de Dirac est donne par :

$\displaystyle Df=\sum_{i=1}^{N}e_{i}\nabla_{e_{i}}f$ ou $\nabla_{e_{i}}$ est la connexion de Levi Civita sur les fibres spinorielles

j espere que j ai clarifie les idees

Probaloser · January 2006

Cauchy : merci,

Pierro : je ne pige toujours pas le cadre mais je voudrais être sûr qu'on soit d'accord sur le fait que c'est faux, sans hypothèses particulières, avec les opérateurs que "tout le monde connaît" (les matrices "deux-deux" par exemple). C'est parfois difficile de situer le niveau de la question...

pierro · January 2006

Non, dans mon cas il ne s'agit pas de géométrie spinoriel.

Au temps pour moi j'ai mal définit mon cadre, excusez-moi.

Reprenons, j'ai donc mon opérateur de Dirac ici : $\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{1}{i}\frac{d}{dx}\\
\frac{1}{i}\frac{d}{dx} & -1\end{array}\right)$de $L^{2}(\mathbb{R})\times L^{2}(\mathbb{R})$

Si maintenant je le perturbe avec un opérateur V, j'ai donc un nouvelle opérateur noté B=Dirac + V.

Ma question est la suivante : Comment trouve t'on le spectre discret de B ??

merci.
---
Pierro

Eric Chopin · January 2006

Salut Pierro,

C'est du cas par cas. Comme te l'a signalé Probaloser il n'y a
aucune raison que les spectres s'ajoutent, sauf si les operateurs sont
diagonalisables dans une meme base bien sur. Si tu prends
l'equation de Klein-Gordon par exemple, tu rajoutes un terme de
masse qui est implicitement un multiple de l'identité et la
evidemment ca marche. De meme si tu ajoutes un potentiel scalaire,
mais si tu couples ton operateur a un champs de jauge quelconque ca
devient complement faux.
En résumé pour les operateurs $i\partial\!\!\!/$ et $i\partial\!\!\!/+m$
OK mais sinon en géneral c'est faux comme par exemple
entre $i\partial\!\!\!/$ et $i\partial\!\!\!/+eA\!\!\!/$ ou $A_\mu$ est un
champ de vecteur quelconque (champ de jauge
typiquement) et $A\!\!\!/=\sum_\mu \gamma^\mu A_\mu$.
Dans ce cas le spectre s'obtient par resolution, si tu y arrives,
du systeme differentiel. Le spectre n'est d'ailleurs pas forcement
discret (cf la mer de Dirac), et en general, comme dans le cas
de Schroedinger, ce sont les conditions au limites que tu ajoutes
(comme par ex le fait que les solutions soient dans $L_2$)
qui va rendre ton spectre discret, et pas le systeme differentiel seul.

A+

eric

pierro · January 2006

Salut eric.

Ok merci, dans mon cas le V est un potentiel, symétrique, borné donc par exemple ça peut-être un opérateur de multiplication, où bien une indicatrice sur un domaine oméga.

Donc si je suis ton raisonnement dans le cas d'un potentiel et des 2 exemples énnoncé avant, je peux faire l'union des 2 spectres ?!

Probaloser · January 2006

...

pierro · January 2006

Décidement Probaloser tu as un talent particulier pour les réponses énigmatiques

ça veut dire qu'on est d'accord, où que je n'ai pas compris l'assertion d'eric ?

Eric Chopin · January 2006

Salut,
euh non j'ai dit une annerie, il n'y a bien sur que si tu ajoutes
une constante que ca marche, et de toute facon un potentiel
non constant sera difficilement diagonalisable puisque
ca revient a ecrire $V(x)\psi(x)=\lambda \psi(x)$... Donc la question
ne se pose meme pas ici puisqu'il n'y aura jamais de vecteur
propre. Si tu veux diagonaliser $\partial\!\!\!/ + V(x)$ tu dois
resoudre le systeme differentiel $\partial\!\!\!/\psi + V(x)\psi=\lambda\psi$ en entier, tu n'as pas vraiment le choix (si ce n'est la
methode de resolution a la rigueur..)

a+

eric

Mauricio4 · January 2006

Le spectre sans potentiel ce sont les ondes planes. Je n'ai pas réfléchi en détail mais il me semble que c'est une ânerie. Pense au cas de l'oscillateur harmonique p²+q² les vecteurs propres n'ont pas grand chose a voir avec ceux de p².
En revanche si tu perturbes p²+q² alors tu peux écrire des séries perturbatives (cf Landau-Lifschitz Meca Quantique). Je pense que l'on doit avoir quelque chose de semblable pour l'opérateur de Dirac, en tout cas en théorie des champs c'est à dire pour les corrélateurs c'est un fait établi mais un peu différent de ta question (cf thm de Wick en électrodynamique quantique dans par exemple Peskine-Schroeder).
Regarde aussi le livre de Mécanique quantique de Cohen-Tanoudji et le premier chapitre de Itzykson-Zuber, je crois qu'ils le font à titre d'exemple (du point de vue physique je crois que cette théorie perturbative n'a pas grand intérêt).
M.

pierro · January 2006

Ok merci, à tous.

Pour Mauricio l'intérêt est de réussir l'examen

et aussi d'acquérir de la connaissance cela va de soi.

Sinon j'ai demandé ce matin, et en fait il faut le faire par rapport au spectre essentiel, via le théorème de Weyl, mon potentiel doit être relativement compact V->0. Puisque le spectre discret est le complémentaire du spectre essentiel, ça se fait sans souci.

Perturbation de l'opérateur de Dirac

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