Corps finis

Lucie1 · December 2005

Bonjour,

Ce matin, j'avais un examen et je suis tombée sur un exo sur lequel je n'ai rien su faire :

Soit F un corps fini à q élements:

a) Montrer qu'il existe un p premier tel que :
$\forall a \in F,~a+a+...+a = p.a = 0$

b) Montrer qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que :
$q = p^n$

c) Si b est algébrique sur F, prouver qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que :
$b^{q^m} =b$...

Mise à part la derniere qui est (...trop...) évident (on prend m=0, mais c'est trop simple)...
Si vous avez des idées pour cet exo, merci d'avance.

Lucie

Lucie1 · December 2005

En latex...
Bonjour,

Ce matin, j'avais un examen et je suis tombée sur un exo sur lequel je n'ai rien su faire :

Soit F un corps fini à q élements:

a) Montrer qu'il existe un p premier tel que :
$\forall a \in F,~a+a+...+a = p.a = 0$

b) Montrer qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que :
$q = p^n$

c) Si b est algébrique sur F, prouver qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que :
$b^{q^m} =b$

Mise à part la derniere qui est (...trop...) évident (on prend m=0, mais c'est trop simple)...
Si vous avez des idées pour cet exo, merci d'avance.

Lucie

rere · December 2005

considere le morphisme

phi:Z->F
n->n*1

le noyau n'est pas reduit a 0 car sinon F serai infini d'ou ker(f) est un ideal de Z ,donc de la forme nZ mais le theoreme d'isomorphisme nous dit que

im(phi) iso Z/nZ d'autre part on sait que im(f) est un sous corps de F d'ou Z/nZ est un corps et donc n est prémier...
il faut considerer F comme un espace vectoriel sur Fp
i.e il faut donner la multiplication
c'est l*f=f+f+f....f
et tu regarde le cardinal d'un ev sur un corps fini

Foufoux · December 2005

Une autre façon de faire :

a)(F, +) est un groupe abélien fini :

Soit e l'élément neutre du groupe.
On sait que dans un groupe fini l'ordre de chaque élément est au maximum le cardinal du groupe.
Soit r le plus petit entier tel que e+e+...+e = r.e = 0
Supposons que r = s.t :
On a donc (s.t) e = (s.e).(t.e) =0 comme F est un corps il est integre...
Donc on aurait (s.e) ou t.e = 0 ce qui contredit l'hypotherse que r est le plus petit des entiers vérifiant r.e = 0
Donc r est premier
b) Soit J l'extension de rZ sur F
On a dim(J) = [F:rZ] = n car F est fini
Donc $q = r^n$

c)
Il existe une extension K tel que [K:F] = m et b élement de K
donc $|K|=q^m$
donc en disant que
(K*,.) = (K \ {O}, .) est un groupe donc on applique le tres fameux théoreme
donc
$b^{q^m} = b$

Corps finis

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