opérateur compact sur esp de Hilbert

Voici un problème qui peut faire un bon exo...

Soit $R$ un opérateur de $E$ dans $F$, compact et injectif. $E$ et $F$ sont des espaces de Hilbert. Soit $R^*:F\longrightarrow E$ son adjoint.

Comme $Ker(R)=0$ et $R$ compact, il existe $(u_k)_k$ (resp $(v_k)_k$) une base hilbertienne de $E$ (resp $F$) telle que $Ru_k=\lambda_k v_k$ et $R^*v_k=\lambda_k u_k$ , avec la suite des $\lambda_k$ qui tend vers 0.

Soit $f\in E$ (je bosse sur des fonctions), alors
$$
f=\sum_{k=0}^{+\infty} (f,u_k)u_k=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\lambda_k}(Rf,v_k)u_k
$$
(convergence au sens de (.,.) dans $E$.
Soit $p\in R(E)$, on pose
$$
Tp=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\lambda_k}(p,v_k)u_k.
$$
On a que
$$
||Tp||^2 \le \sum (\frac{1}{\lambda_k})^2 ||p||.
$$
Comme les $\lambda_k$ tendent vers 0, cet opérateur a peu de chance d'etre borné.

On pose
$$
T_{\alpha}p=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda_k^2}{\lambda_k^2+\alpha}\frac{1}{\lambda_k}(p,v_k)u_k.
$$
Cet fois, cet opérateur de $R(E)$ dans $E$ est borné et converge faiblement vers $p$ quand $\alpha$ tend vers 0 ($\forall p$, $T_{\alpha}p$ converge vers $Tp$ au sens de (.,.) dans $E$).

Supposons que $R(E)$ soit fermé, alors $R(E)$ est complet et donc d'apres le thm de la borne uniforme, $||T_{\alpha}||$ est borné uniformément. Or c'est impossible vu que la norme de $T$ est infinie !! $R(E)$ ne peut donc etre fermé...

Ou est l'erreur ??

Merci a ceux qui ont pris la peine de tout lire !