Matrices semblables

alors, un conseil, OUBLIE TT DE SUITE CETTE METHODE !!!! lol

En effet, à part pour le cas des systèmes 2*2, 3*3 ou à la limite 4*4, c'est ingérable comme système et, qui plus est, assez mal vu par les examinateurs qui y voient un manque de recul par rapport aux notions mises en jeu (cf je ne sais plus quel rapport des ENS)

Montrer que 2 matrices sont semblables est en général pas évident.
- La méthode canon, mais très hors programme prépa (je ne connais pas ton niveau), c'est la méthode des invariants de similitude. En effet,

(2 matrices sont semblables <=> elles ont même suite d'invariants de similitude)
et il existe un algorithme permettant de calculer la SIS (faire une recherche google)
- Parfois, un simple changement de base suffit, mais cela se voit à la tête de la matrice (donc à oublier si on a des renseignement indirects sur celles-ci)
- derniere méthode: les differentes décompositions (Dunford, Frobenius, Jordan etc ...) peuvent être utiles car elles permettent de se ramener à l'étude de certains blocs particuliers

En revanche montrer que 2 matrices ne sont pas semblables est en général plus aisé, le moyen le plus naturel étant de montrer qu'elles n'ont pas les mêmes "objets invariant par similitude" :
-polynôme caractéristique
-spectre
-etc...

voili voilou... j'espère n'avoir pas trop dit de choses inutiles

shadow

Bah comme l'a dit Shadow, la bonne notion est celle d'invariants de similitude, qui contient les conditions nécessaires que vous énoncez.
Sinon, il n'y a pas de méthode particulière (le calcul des IS est aussi fastidieux, puisque l'algorithme en question repose sur un pivot de Gauss dans K[X]). Ou alors reconnaître qu'elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes (mais on n'est pas plus avancé).

En fait, tout dépend du contexte mais le plus simple pour deux matrices explicites est de montrer qu'elles sont semblables à une troisième matrice plus simple (diagonale dans le cas usuel et favorable, réduite de Jordan, etc).

Un des exos que j'ai eu aux oraux des ccp :
Montrer que $A$ et $B$ sont semblables :
$$A= \begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
6 & 5 & 4 \\
-1 & 2 & 3
\end{pmatrix}\ , \quad B= \begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 \\
-1 & 3 & 2 \\
6 & 4 & 5
\end{pmatrix}$$

Deux matrice À et B sont semblables si et seulement si il existe une matrice P inversible tel que : À = PBP^-1

Il exite des matrices appelées matrices de permutation dans ce cas c'est la matrice P(i,j) qui nous intéresse, elle fonctionne comme cela :
La multiplication (a gauche) : P(i,j)À donne la matrice A mais en ayant interchangés les colonnes i et j
La multiplication (à droite) : AP(i,j) donne la matrice À mais en ayant interchangés les lignes i et j.

Dans ton cas ta matrice B est égal à :
B = P(2,3)AP(2,3)

Or, linverse de cette matrice P(i,j) est elle même donc tu as

B = P(2,3) À P(2,3)^(-1)
B = PAP^-1

Donc À et B sont semble

... elles ont les mêmes invariants de similitudes.