Morphismes ...

Bonjour

Les morphismes (f1,f2) ne vont pas de G dans G' mais respectivement de G dans G et de G' dans G'...

Cordialement,

Bonsoir Titus

Losque $G= H_1\times H_2$ est un produit direct, alors tout élément de $G$ se décompose de manière unique $x=(x_1,x_2)$
Un morphisme $f : G=H_1\times H_2 \rightarrow G$ se décompose donc en 2 morphismes $f_1 = f|_{H_1} : H_1 \rightarrow G$ et $f_2=f|_{H_2} : H_2 \rightarrow G$, mais rien ne permet d'affirmer que $\mathrm{im\,}f_1 \subset H_1$ ni que $\mathrm{im\,}f_2 \subset H_2$
Une hypothèse supplémentaire comme la bijectivité n'est pas suffisante, toutefois si en plus on suppose que $H_1$ est caractéristique, c'est à dire invariant par tout automorphisme de $G$, cela veut dire que $f|{H_1}$ est un automorphisme de $H_1$.

Plus généralement, on peut montrer que $\varphi : Aut(H_1)\times Aut(H_2) \rightarrow Aut(H_1 \times H_2)$ défini par $\varphi(\mu_1,\mu_2) = \Big( (h_1,h_2) \mapsto (\mu_1(h_1),\mu_2(h_2))\Big)$ est un {\bf morphisme injectif} de groupes.
En général $\varphi$ n'est pas bijectif, toutefois si $H_1,\ H_2$ sont tout deux caractéristique dans $G$ alors $\varphi$ est alors un isomorphisme.

Ainsi ton exemple $G = H_1 \times H_2 = Z/4\Z \times \Z/2\Z$, aucun des facteurs direct n'est caractéristique dans $G$. On a
$Aut(H_1) = Aut(\Z/4\Z) = \{id,\ (1 \mapsto 3)\} \simeq \Z/2\Z$
$Aut(H_2) = Aut(\Z/2\Z) = \{id\}$ trivial
Alors $Aut(H_1)\times Aut(H_2)$ est isomorphe au cyclique d'ordre 2 et ne peut pas être égal à $Aut(H_1\times H_2) = Aut(\Z/4\Z \times \Z/2\Z) $ qui est équivalent à $D_4$.
Donc ton prof ne doit sans doute pas dire ce que tu as écrit !

Par contre si $\mathrm{pgcd}[|H_1|,|H_2|) = 1$ alors $H_1, H_2$ sont caractéristiques dans $G$, comme je l'ai montré \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=215663&t=215050#reply_215663}
et dans ce cas, il y a bien isomorphisme. Par exemple :
$Aut(\Z/4\Z) \times Aut(\Z/3\Z) \simeq Aut(\Z/4\Z \times \Z/3\Z) = Aut(\Z/12\Z) \simeq (\Z/2\Z)²$

Est-ce plus clair maintenant ?

Alain