exercice difficile
dans Les-mathématiques
bonjour à tous,
je suis tombé en contôle sur un exercice dont je n'ai su quasiment rien faire (2 heures s'il vous plaît).
En attendant de voir ma note (...), j'aimerais comprendre ce qu'il fallait trouver, pourriez vous m'aider...
c'était l'étude de la fonction $f_n$(x)= x + n sin x
parmi les questions il y avait entre autre:
*) montrer que les points $A_k$ (kpi, kpi) sont des centres de symétrie de Cf (k dans Z)
*) montrer que pour tout n, Cf est compri entre ($D_n$) et ($D_-n$) où ($D_n$) est la droite d'équation y = x + n
*) trouver les coordonnées des points communs à (Cf) et ($D_n$), montrer qu'en ces points, Cf est tangentes à ($D_n$). [ je devais faire la même chose pour Cf et ($D_-n$).
*) ET SURTOUT: étudier suivant les valeurs de n, les variation de $f_n$ sur [0,kpi] (en nous indiquant que nous serions entre autre amener à discuter de la position de n par rapport à 1 et -1)
Merci BEAUCOUP d'avance
je suis tombé en contôle sur un exercice dont je n'ai su quasiment rien faire (2 heures s'il vous plaît).
En attendant de voir ma note (...), j'aimerais comprendre ce qu'il fallait trouver, pourriez vous m'aider...
c'était l'étude de la fonction $f_n$(x)= x + n sin x
parmi les questions il y avait entre autre:
*) montrer que les points $A_k$ (kpi, kpi) sont des centres de symétrie de Cf (k dans Z)
*) montrer que pour tout n, Cf est compri entre ($D_n$) et ($D_-n$) où ($D_n$) est la droite d'équation y = x + n
*) trouver les coordonnées des points communs à (Cf) et ($D_n$), montrer qu'en ces points, Cf est tangentes à ($D_n$). [ je devais faire la même chose pour Cf et ($D_-n$).
*) ET SURTOUT: étudier suivant les valeurs de n, les variation de $f_n$ sur [0,kpi] (en nous indiquant que nous serions entre autre amener à discuter de la position de n par rapport à 1 et -1)
Merci BEAUCOUP d'avance
Réponses
-
pour la seconde question il suffit de remarquer que :
$$ -1 \leq \sin(x) \leq 1~ \forall x \in \mathbb{R}$$
pour la suivante question, il suffit de poser :
$$ f_n(x) = y \Leftrightarrow x+ n\sin(x) = x + n \Leftrightarrow \sin(x) = 1 ...$$
Puis apres de calculer la tangente en ces points et de montrer que l'équation de la tangente est égale à celle de $D_n$
pour la dernière question :
Le problème est que la dérivé ne peut pas s'annuler si $ -1 < n < -1$
Cordialement -
merci deja pour ces explications,
Est-ce que vous pourriez me donner quelques renseignements supplémentaires pour la dernière question SVP
(de plusla première question est l'utilisation d'un théorème non?) -
Pour la première question, il faut remarquer que la fonction est impaire
Et que pour tout changement de repere $(0,x,y) --->(A_k,x,y)$
la fonction est encore impaire... Et donc on a des centres de symétrie.
Pour la dernière question :
$$\forall n,x \in \mathbb{R}~f_n(x) =x+n\sin(x)$$
La fonction est dérivable par rapport à x en tout point et
$$\forall n,x \in \mathbb{R}~f'_n(x) =1+n\cos(x)$$
Il faut étudier les points ou la dérivée s'annule cad :
$$f'_n(x) =1+n\cos(x) = 0 \leftrightarrow \cos(x) = -1/n $$
Comme tu sais que $ -1\leq \cos(x) \leq 1 $, tu peux en déduire une condition sur n pour que la dérivée s'annule !
Cordialement -
mais la dérivée ne s'annule jamais justement? a vrai dire je ne comprends vraiment pas la dernière question...
-
Désolé d'insister mais j'ai retravaillé à la question et je n'y arrive toujours pas.
Je me permets donc de vous redemander de l'aide. -
?? y a-t-il quelqu'un?
-
j'ai vraiment du mal avec cette question:
je vois que si m=1 fn'(x) est positive et que si m=-1 fn'(x) est négative.
Mais je n'arrive pas à "discuter" suivant les valeurs de n autres que ces valeurs particulières. (en terme d'intervalles...)
Je sais pourtant d'après mon énoncé que je dois m'appuyer sur ces deux valeurs pour construire ma réponse (-1 et 1).
En gros, je ne trouve toujours pas les variations de fn !! -
bon je continue quand même à dire ce que je fais et mes problèmes: je pars d'un encadrement de cosx...
mais après je n'arrive pas à discuter de fn en fonction de n, mais uniquement en fonction de x... -
Bon je vous reparle de mes avancées.
J'ai trouvé que si m est compris entre -1 et 1, la fonction est croissante.
Mais je n'arrive pas à traiter les cas m supérieur à 1 ou inférieur à -1...
Pourriez-vous m'aider ??? -
je remonte une n-ième fois mon post pour vous dire une n-ième fois que je ne trouve pas
-
AU SECOURS
-
Pour la première question ci-dessus, à savoir $A_k(k \pi \, , \, k \pi)$ centres de symétrie : $$\frac {1}{2} \left ( f(k _pi + x) + f(k \pi - x) \right ) = k \pi + \frac {n}{2} \left ( \sin (x + k \pi) - \sin (x - k \pi) \right ) = k \pi,$$ donc les points $A_k$ sont centres de symétrie.
Borde. -
Pour la première question ci-dessus, à savoir $A_k(k \pi \, , \, k \pi)$ centres de symétrie : $$\frac {1}{2} \left ( f(k \pi + x) + f(k \pi - x) \right ) = k \pi + \frac {n}{2} \left ( \sin (x + k \pi) - \sin (x - k \pi) \right ) = k \pi,$$ donc les points $A_k$ sont centres de symétrie.
Borde (correction latex).
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