arithmetique

arbi · October 2005

Montrer que 2^n divise [(5^(2^(n-2)))-1] ; n un entier naturel différent de 1 et 0

J'ai mis une demi feuille pour le montrer et dans la correction d'un prof en deux lignes sans aucun détail. C'est gentil si vous pouviez me donner des idées de résolution car j'ai dû développer et développer.
Merci ...

Richard André-Jeannin1 · October 2005

Essayez par récurrence, en utilisant a²-b²=(a+b)(a-b).

arbi · October 2005

la recurrence n'est pas efficace

GLaG · October 2005

Si, en deux lignes, avec l'indication de Richard...

arbi · October 2005

ok par recurrence tu supposes que c'est vrai pour (5^(2^(n-2))-1) maintenant il [faut] montrer que (2^(n+1)) divise [(5^(2^((n+1)-2)))-1] comment passer de (5^(2^(n-2))-1) à [(5^(2^((n+1)-2)))-1] par une multiplication ?
C'est pour ça, je dit que la récurrence ne mène à rien même avec a²-b²=(a+b)(a-b). ???

Foufoux · October 2005

Bonjour,

Je crois que tu confond le raisonnement par recurrence :

Tu verifie au rang 2 :

Tu suppose vrai au rang p > 2

Tu demontre au rang p+1

Tu conclues !

Voila

arbi · October 2005

Oui oui c'etait pour ne pas reprendre dès le début et aller directement là ou il y a problème, mais merci pour le rappel ...

arbi · October 2005

Le problème est toujours là !

Richard André-Jeannin1 · October 2005

5^(2^(n-1))-1
=5^(2*2^(n-2))-1²
=[5^(2^(n-2))-1][5^(2^(n-2))+1]. Pour le premier terme, on utilise l'hypothèse de récurrence et on remarque que le second terme est pair.

arbi · October 2005

ok merci Richard

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