résidu modulo un nombre de Mersenne

e=mc31 · October 2005

Soit =$M-q=2^q-1$ un nombre de Mersenne non forcément premier.

En prenant $\sqrt(3)$ dans une extension convenable de $\Z_{M_q}$
posons $\omega=2+\sqrt(3)$ et $\bar{\omega}=2-\sqrt(3)$
(désolé je ne sais plus mettre la barre au dessus en Latex)

Il est facile de montrer que ces puissances sont dans $\Z_{M_q}$

comment montre -t-on l'équivalence
$\omega^{2^{q-2}}=\bar{\omega}^{2^{q-2}}$ mod $M_q$

$\omega^{2^{q-1}}=-1$ mod $M_q$

J'ai essayé d'élever au carré de chaque côté il faut donc montrer que
$\bar{\omega}^{2^{q-1}}=1$ mod $M_q$

Je pense que c'est très simple car l'ouvrage d'où c'est tiré écrit directement ce résultat, mais je ne vois pas.
évidement (pas tant que ça mais ça se fait) si $M_q$ est premier c'est ok, mais ce n'est pas notre hypothèse (ça sera même une conclusion). Alors y a-t-il un raisonnement en fonction d'un groupe de cardinal $M_{q-1}+1=2^{q-1}$?

e=mc31 · October 2005

il y a une erreur de signe.Il fallait lire:

$\omega^{2^{q-2}}=-\bar{\omega}^{2^{q-2}}$ mod $M_q$

e=mc31 · October 2005

Ca m'énerve je coince sur ce truc depuis deux jours et pourtant je suis sûr que c'est simple.

Je réécris la problématique en langage plus clair:

$(2-\sqrt(3))^{2^{q-1}}=-1=2^q-2$ $mod (2^q-1)$

e=mc31 · October 2005

L'erreur de signe signalée ne devrait rien changer en élevant au carré.
Ce qui m'énerve dans ce truc c'est que ça doit être évident.

Je donne le contexte: il s'agit de la démonstration du test de Lucas sur la primalité des nombres de Mersenne ref Saux Picard p83

Foufoux · October 2005

Bonjour,

Pourrais tu être plus clair pour :

En prenant $ \sqrt(3)$ dans une extension convenable de $ \mathbb{Z}_{M_q}$

?

Parce que sinon je ne vois pas ce que tu veux dire

e=mc31 · October 2005

je sais pas moi par exemple en quotientant par $$ si ça peut te rassurer quant à l'existence d'une telle extension.

Foufoux · October 2005

Bah le probleme c'est que
$(X^2 - 3)$ peut être irreductible dans $\mathbb{Z}_{M_q}$ (avec $q = 3$ par exemple)

Donc je pense qu'il doit manquer une hypothèse.

Cordialement

e=mc31 · October 2005

je ne comprends pas ton problème

Foufoux · October 2005

Bonjour,

Ce que je veux dire c'est qu' il n'existe pas de $\sqrt{3} dans $ \mathbb{Z}_{M_q}$.

Mon problème c'est que je vois comment faire des calcules avec un "bidule" qui n'existe pas...

Voila, Il se peut également que je sois completement a coté de la plaque...

Cordialement

Foufoux · October 2005

Bonjour

Ce que je veux dire c'est qu' il n'existe pas de $\sqrt{3}$ dans $\mathbb{Z}_{M_q}$.

Mon problème c'est que je vois comment faire des calcules avec un &quotbidule" qui n'existe pas...

Voila, Il se peut également que je sois completement a coté de la plaque...

Cordialement