polynômes dans Z[X]
dans Les-mathématiques
Soient 3 polynomes unitaires à coef rationnels P,Q,R tels que Q=PR et de plus Q est à coef. entiers relatifs. Il paraît qu'alors il existe un $\alpha \in \Q$ tel que simultanément $\alpha P$ et $(1/\alpha) R$ soient dans $\Z[X]$.
J'ai essayé d'abord de faire une mise au même dénominateur des coef de P puis ceux de R, mais en prenant pour $\alpha$ le produit de ces ppcm ça ne marche manifestement pas. ALors je coince.
J'ai essayé d'abord de faire une mise au même dénominateur des coef de P puis ceux de R, mais en prenant pour $\alpha$ le produit de ces ppcm ça ne marche manifestement pas. ALors je coince.
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Réponses
Pour tout nombre premier p
Pour tout $a$ entier, soit $v_p(a)$ le plus grand entier $n$ tel que $p^n$ divise $a$.
Pour $a$ et $b$ entier, on pose $v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$.
Si on a deux polynomes unitaires à coefficients dans $\Q$,
$A=a_0+a_1 x+...+a_n x^n$ et $B=b_0+b_1 x+...+b_m x^m$, tel que $C=AB$ est à coefficients entiers, soit $u=min_i v_p(a_i)$ et $k$ le plus grand entier tel que $v_p(a_k)=u$,
soit $w=min_j v_p(b_j)$ et $r$ le plus grand entier tel que $v_p(b_r)=w$.
$a_n=1$ donc $v_p(a_n)=0$ donc $u=0$
donc $u+v>=0$ or $u=0$ donc
$A$ et $B$ sont a coefficients entiers.
Pour tout nombre premier p
Pour tout $a$ entier, soit $v_p(a)$ le plus grand entier $n$ tel que $p^n$ divise $a$.
Pour $a$ et $b$ entier, on pose $v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$.
Si on a deux polynomes unitaires à coefficients dans $\Q$,
$A=a_0+a_1 x+...+a_n x^n$ et $B=b_0+b_1 x+...+b_m x^m$, tel que $C=AB$ est à coefficients entiers, soit $u=min_i v_p(a_i)$ et $k$ le plus grand entier tel que $v_p(a_k)=u$,
soit $w=min_j v_p(b_j)$ et $r$ le plus grand entier tel que $v_p(b_r)=w$.
$a_n=1$ donc $v_p(a_n)=0$ donc $u=0$
donc $u+v>=0$ or $u=0$ donc
$A$ et $B$ sont a coefficients entiers.
Pour tout nombre premier p
Pour tout $a$ entier, soit $v_p(a)$ le plus grand entier $n$ tel que $p^n$ divise $a$.
Pour $a$ et $b$ entiers, on pose $v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$.
Si on a deux polynômes unitaires à coefficients dans $\Q$,
$A=a_0+a_1 x+...+a_n x^n$ et $B=b_0+b_1 x+...+b_m x^m$, tels que $C=AB$ est à coefficients entiers, soit $u=min_i v_p(a_i)$ et $k$ le plus grand entier tel que $v_p(a_k)=u$,
Soit $w=min_j v_p(b_j)$ et $r$ le plus grand entier tel que $v_p(b_r)=w$.
$a_n=1$ donc $v_p(a_n)=0$ donc $u\leq 0$
$b_m=1$ donc $v_p(b_m)=0$ donc $w\leq 0$
$c_{k+r}=a_0 b _{k+r}+\ldots+a_k b_r+\ldots+a_{k+r} b_0$
$v_p(a_i b_{k+r-i})>u+w$ si $i\neq k$ donc
$v_p(c_{k+r})=u+v$ or $c_{k+r} \in \Z$ donc $v_p(c_{k+r})\geq 0$
donc $u+v\geq 0$ or $u\leq 0$ et $v\leq 0$ donc $u=v=0$
donc pour tout nombre premier $p,\ v_p(a_i)\geq 0$ et $v_p(b_j)\geq 0$ donc
$A$ et $B$ sont à coefficients entiers.
très jolie l'idée avec les valuations. Il fallait tout de même penser à introduire ce que tu appelles k et r.
Je propose une démo faisant appel aux contenus, elle est très courte. Dites moi ce que vous en pensez.
$C=AB$
soient
d le ppcm des dénominateurs des coef de A
d' le ppcm des dénominateurs des coef de B
posons
$A_0=dA$
$B_0=dB$
il est clair que l'on a $A_0\in \Z[X]$ et $B_0\in \Z[X]$
il est clair également par définition du contenu que l'on a alors
$A_0/c(A_0) \in \Z[X]$
$B_0/c(B_0) \in \Z[X]$
Or:
$c(A_0)=c(dA)=dc(A)=d$
$c(B_0)=c(d'B)=d'c(B)=d'$
donc
$A_0/d \in \Z[X]$
$B_0/d' \in \Z[X]$
c'est à dire
$A \in \Z[X]$
$B \in \Z[X]$