Indicateur d'Euler

Je suppose que c'est $\varphi(\varphi(\varphi(...(n))))$, $n$ fois.

Je penche pour 1 ! (rarement l'indicatrice prend la valeur 0 )

Autant pour moi, j'étais parti sur la limite de $\varphi^n (x)$, à $x$ fixé...

Oui, j'ai remarqué :-D

uste une remarque:
si $n$ est pair, $ \phi(n) \leq \frac{n}{2}$
si $n \geq 3$, $phi(n)$ est pair.

Donc on voit que $\phi ^{k} (n) \leq \frac{n}{2^{k-1}}$.
(a vérifier ...)

Bonsoir

Alekk : Ta remarque est fort juste, mais le problème est que $\varphi$ n'est pas une fonction croissante (par ex $\varphi(7) = 6\ ;\ \varphi(8) = 4$)

Nouvella : {\bf Bravo pour le b)} en effet $k \leq n,\ \varphi^k(2^n)=2^{n-k}$ d'où $\varphi^n(2^n) =1$ pour tout $n$
{\bf OK pour le a)} parce que effectivement $n\geq 2 \Rightarrow \varphi(n)\leq n-1$, alors à chaque application de $\varphi$ le majorant est diminué de 1, jusqu'à obtenir pour un certain $k\leq n-1,\ \varphi^k(n) = 1$ et à partir de là, la suite est stationnaire sur 1.

{\bf Pour le c)}, la suite des premier termes est bizarre (sauf erreur), pas croissante et inconnue chez Sloane
$\varphi^1(1^1) = 1$
$\varphi^2(2^2) = 1$
$\varphi^3(3^3) = 2$
$\varphi^4(4^4) = 2^4=16$
$\varphi^5(5^5) = 2^6=64$
$\varphi^6(6^6) = 2^6=64$
$\varphi^7(7^7) = 2^7.3=384$
$\varphi^8(8^8) = 2^{16}=65536$
$\varphi^9(9^9) = 2.3^9=39366$

A suivre
Alain

...et $\varphi^{(10)} (10^{10}) = 2^{20}$, ainsi que $\varphi^{(11)} (11^{11}) = 2^{21} \times 5$.

Borde.

Serait-ce trop demander aux responsables du site que de récrire la réponse donnée par Marco en TeX?

Et qu'en est-il d'un équivalent de
$\varphi^{(n)}(n)$?