Oral ENS

Bonjour:
Voici un petit sujet d'Oral d'ENS que je n'arrive pas à résoudre
Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa:


Soit C une matrice carrée complexe de taille n
on note C* la matrice adjointe (C*i,j = conjugué(Cj,i))
Soit A= (C+C*)/2
Soit B= (C-A)/i =(C-C*)/(2*i)

On a: quelque soit X non nul X*AX > 0

Questions :

1) Montrer que A est inversible
2) Montrer que les valeurs propres de A-B sont réelles
3) En déduire que module(Det C)>= Det A
4) Montrer que l'on a module(Det C)=Det A ssi C=C*

5) On suppose X*AX>=0 et Im(X*CX)<=0 Montrer que module(Det C)= Det A


Pour la 1 et 2 c'est fait facilement.
Mais pour la trois... j'ai commencé à écrire module(Det C)^2 = Det (CC*)= Det(A^2+B^2) mais après je bloque.
Merci d'avance