Categorie additive
dans Les-mathématiques
Bonjour,
Je lis un expose sur la K-theorie que j'ai trouvé sur le web et j'ai un probleme de definition.
Soit C une categorie, soit R la relation d'equivalence entre deux objets de la categorie A et B, definie par $A \sim B$ si il y a un isomorphisme entre A et B.
Dans l'expose, il est marqué que si C est une categorie additive, C/R est un monoide abelien. Il me semble qu'il faut qu'il y ait une somme directe dans la categorie et un objet nul. Or dans un livre de Godement, il definit une categorie additive par
Hom(X,Y) peut etre muni d'une structure de groupe abelien et la composition des homomorphismes est bilineaire.
Sauriez-vous quelle est la bonne definition pour que C/R soit un monoide?
Merci d'avance
Je lis un expose sur la K-theorie que j'ai trouvé sur le web et j'ai un probleme de definition.
Soit C une categorie, soit R la relation d'equivalence entre deux objets de la categorie A et B, definie par $A \sim B$ si il y a un isomorphisme entre A et B.
Dans l'expose, il est marqué que si C est une categorie additive, C/R est un monoide abelien. Il me semble qu'il faut qu'il y ait une somme directe dans la categorie et un objet nul. Or dans un livre de Godement, il definit une categorie additive par
Hom(X,Y) peut etre muni d'une structure de groupe abelien et la composition des homomorphismes est bilineaire.
Sauriez-vous quelle est la bonne definition pour que C/R soit un monoide?
Merci d'avance
Réponses
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En fait, il doit s'agir d'une categorie abelienne.
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La somme directe, le produit, l'élément nul sont présents dans une catégorie additive par définition, il me semble (somme directe et produit sont définis par les limites inductives et projectives, si la catégorie en a; pour une catégorie additive, on veut qu'elle en ait).
Donc pas besoin de catégorie abélienne pour ça. Une catégorie abélienne sert juste à avoir des noyaux et des conoyaux.
Maintenant, il me semble que la définition d'un isomorphisme c'est épimorphisme et monomorphisme, donc implicitement on est déjà dans une catégorie abélienne, puisque monomorphisme:= noyau nul et épimorphisme := conoyau nul.
A+ -
Je raconte n'importe quoi les monomorphisme et épimorphisme sont définis pour un catégorie quelconque : $\phi$ est un monomorphisme ssi pour tout couple de morphismes $f$ et $g$, $\phi \circ f = \phi \circ g \Rightarrow f=g$, truc équivalent pour les épimorphismes.
Et en plus la définition la plus simple d'isomorphisme sans parler de ça est $f:X\to Y$ est un isomorphisme ssi il existe $g$ tq $f\circ g = Id_Y$ et $g\circ f = Id_X$.
voilà, j'espère qu'il n'y a plus de betises...
A+ -
Merci pour ta reponse !
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