Estimation d'une intégrale
dans Les-mathématiques
bonjour
il doit y avoir une petite astuce pas bien difficile mais je sèche un peu la.
est-ce qu quelqu'un pourrait me donner une indication svp?
ll faut montrer que si $l>1/2$ il existe un constante $c$ telle que $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(1+|x-\alpha|)^{2l}(1+|x-\beta|)^{2l}}\leq \frac{c}{(1+|\alpha-\beta|)^{2l}}$$
(pour tout $\alpha$, $\beta$)
merci bien
il doit y avoir une petite astuce pas bien difficile mais je sèche un peu la.
est-ce qu quelqu'un pourrait me donner une indication svp?
ll faut montrer que si $l>1/2$ il existe un constante $c$ telle que $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{dx}{(1+|x-\alpha|)^{2l}(1+|x-\beta|)^{2l}}\leq \frac{c}{(1+|\alpha-\beta|)^{2l}}$$
(pour tout $\alpha$, $\beta$)
merci bien
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$\displaystyle \int_\R \frac{dt}{(1+|t|^{2\ell})(1+|t+\alpha-\beta|^{2\ell})}$, tu es ramené au poblème
$ \int_\R \frac{dt}{(1+|t|^{2\ell})(1+|t+u|^{2\ell})}
\leq \frac c {1+|u|^{2\ell}}$ pour tout $u$
$\displaystyle \int_\R \frac{dt}{(1+|t|)^{2\ell}(1+|t+u|)^{2\ell}} \leq
\frac c{(1+|u|)^{2\ell}}$ ?
Il suffit sans doute de majorer le rapport $\displaystyle \frac{1+|u|}{1+|x+u|}$ indépendamment de $u$, ce qui est possible puisque cette quantité tend vers 1 quand $u\rightarrow \pm \infty$.
il faut "garder" un terme du genre $\frac{1}{1+|t|}$ dans cette majoration et ca me bloque
tel que pour tout $u$ : $1+|x+u| \leq c(x) (1+|u|)$
Apres reflexion, je propose
$|u| \leq |x+u|+|x|$ par l'inégalité triangulaire
A fortiori
$(1+|u|) \leq 1+|x|+|x+u|+|(x+u)x|=(1+|x|)(1+|x+u|)$
donc
$\displaystyle \frac{1+|u|}{1+|x+u|} \leq \frac 1{1+|x|}$
Et ensuite c'est facile.
$si \beta > \alpha , \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+abs(u))^{2l} (1+abs(\beta-\alpha-u))^{2l}}=\int_{-\infty}^{0} + \int_{0}^{\beta - \alpha} +\int_{\beta - \alpha}^{\infty}$
$\frac{1}{(1+abs(u))^{2l} (1+abs(\beta - \alpha -u))^{2l}} < \frac{1}{(1+abs(u))^{2l}} \frac{1}{(1+\beta - \alpha)^{2l}} $ si $u
Il semblerait que si on appelle $F(u)=\displaystyle \int_\R \left(
\frac {1+|u|}{(1+|x|)(1+|x+u|) } \right)^{2\ell} dx$
, avec $u=\alpha-\beta$, $F$ est positive, paire (pas dur à voir), et tend vers zéro en décroissant quand $u\rightarrow +\infty$, et donc est majorée par $F(0)$. Bien sûr il faudrait justifier tout ceci : peut-être en regardant déjà le signe de $F(u)-F(v)$ pour la décroissance.
Cet exo est infernal !!
En fait les deux autres cas de Marco ne sont pas si simples il fallait découper en $\int_{-\infty}^{\beta-\alpha-\epsilon}+\int_{\beta-\alpha-\epsilon}+\int_{\beta-\alpha+\epsilon}^{+\infty}$ et ca marche.