base/matrice

N'as-tu pas une petite idée quand même ?

Ca marche aussi brutalement en prenant une combinaison linéaire nulle et en montrant que les coefficients sont alors nuls c'est pas bien dur ...

Bonjour,

Pour généraliser de la base canonique $e=(e_{1},...,e_{n})$ à une base quelconque : soient $X=(X_{1},....,X_{n})$ et $Y=(Y_{1},....,Y_{n})$ des bases de $\R^{n}$. Il existe donc des matrices $P$ et $Q$ inversibles telles que : $\forall 1\leq i,j\leq n, X_{i}=P.e_{i}, Y_{j}=Q.e_{j}$.
Donc, $\sum a_{i,j}.X_{i}.^{t}Y_{j}=\sum a_{i,j}.P.e_{i}.^{t}e_{j}.^{t}Q$
$=P.(\sum a_{i,j}.e_{i}.^{t}e_{j}).^{t}Q$.
Cette expression est nulle si, et seulement si $\sum a_{i,j}.e_{i}.^{t}e_{j}=0$, car $P$ et $^{t}Q$ sont inversibles.
D'où le résultat.

Amicalement.
Olivier.