forme linéaire/ démonstration

Réponses

• corentin0

  August 2005

  C'est assez mal posé comme exo. Si j'ai bien compris, $E=\mathcal{M}_n(\R)$. Dans ce cas, il suffit d'écrire la trace du produit entre les deux matrices, d'écrire ce qu'est une forme linéaire et de comparer les deux pour choisir les coeffs de F.
• michael

  August 2005

  C'est assez mal posé comme exo. Si j'ai bien compris, $E=\mathcal{M}_n(\R)$. Dans ce cas, il suffit d'écrire la trace du produit entre les deux matrices, d'écrire ce qu'est une forme linéaire et de comparer les deux pour choisir les coeffs de F.
• skyrmion1

  August 2005

  Comme toujours, il faut passer par les matrices elementaires $E_{ij}$ qui possedent un $1$ a la i-ieme ligne et j-ieme colonne et des zeros partaout ailleurs. Fait d'abord le calcul pour une matrice $E_{ij}$, puis ecrit que $A=\sum_{ij}a_{ij}E_{ij}$.
  
  cordialement,
  jerome
• Th0t

  August 2005

  Si E est de dim finie (c'est le cas ici) et est muni d'un produit scalaire toute forme linéaire sur E peut s'écrire comme le produit scalaire par un vecteur fixe.
  
  En effet il est facile de montrer que l'application de E dans son dual E* définie ainsi :
  
  E--->E*
  a -->(a|.)
  
  est bijective
  
  voilou
• Evgueny

  August 2005

  Merci pour vos réponses. Je voudrais revenir sur ce qu'a écrit corentin.
  Je ne comprends pas comment écrire f(M) comme une forme linéaire pour en suite le comparer à g(M,F)... Pouvez-vous m'éclairer ?
• corentin0

  August 2005

  Il est évident que $M\longrightarrow tr(^t F M)$ est une forme linéaire, on est donc ramené à montrer que toute fl est de cette forme.
  Pour cela, il suffit de constater qu'en dimension finie, une forme linéaire c'est une application qui à un vecteur $(x_1,\cdots, x_n)$ (!considérer les matrices comme des vecteurs!) associe $\sum \alpha_1 x_i$, donc pour une matrice, une forme linéaire s'écrit;
  $\displaystyel f(M)=\sum_{i,j}\alpha_{i,j} x_{i,j}$.
  Reste à développer le calcul de $tr(^t F M)$ pour vérifier que ça marche.
• corentin0

  August 2005

  Lire $\alpha_i$ et pas $\alpha_1$. Désolé.
• Alain Debreil

  August 2005

  $ \sum \alpha_i x_i$