endomorphisme de trace nulle

domino0 · July 2005

bonjour

j ai une question sur la demonstration d'un resultat: tout endomorphisme de trace nulle est semblable a un endo de diagonale nulle.

on prend un vecteur tel qu'il ne soit pas colineaire avec son image par f, et on obtient une sous matrice de trace nulle et de taille n-1 mais comment continuer en sachant que le vecteur suivant sera bien non colineaire avec le premier choisi(je sais pas si c'est clair, mais ceux qui connaissent bien la demo devraient comprendre je crois)
en clair, comment est-on sur qu'on obtient bien une base apres avoir "zero-diagonalise" l'endomorphisme ?

Th0t · July 2005

recurrence sur la dimension

domino0 · July 2005

euh pourrais-tu etre plus precis stp ?

Th0t · July 2005

si on a une matrice 1*1 c'est evident.suposont pour un vertain n>0 avoir dem le resultat. soit A un matrice de trace nulle de taille n+1.Notons f l'endomorphisme canoniquement associé.si f n'est pas une homothetie alors il existe un vecteur x tel que ( x,f(x)) libre (si f est une homothetie c'est réglé..)

completons ( x,f(x)) en base de notre espace.On ecrit la matrice de f dans cette base (par blocs) et on peut appeler A' la matrice obtenue en anlevant la 1ere ligne et la 1ere colone.
trace(A)=0+trace(A') donc A' est de trace nulle donc d'apres l hypothse de recurrence...
puis on sort les matrices de passage et le calcul par blocs.
voila

Si quelqun connait plus simple ?

domino0 · July 2005

justement, c'est ce que j'avais fait en gros, mais la c'est mieux dit, enfin plus clairement.
mais ce qui me gene, c'est justement la fin que tu ne traites pas, elle est sans doute triviale, mais je ne comprends toujours pas pourquoi la base dans laquelle la matrice A' (en reprenant tes notations) se transforme en une matrice a diagonale nulle sera forcement une base(de card n+1) quand on lui rajoute le x en question.

Th0t · July 2005

bon je vais taper tout ça mais comme moi et latex ça fait 2 ça risque de prendre un peu de temps

domino0 · July 2005

merci bcp, mais t'es pas oblige de le faire en latex si ca t'arrange pas !

Th0t · July 2005

On a les grandes lignes donc voilà pour le calcul. Je change un peu les notations pour pas utiliser trop de lettres.
 Soit <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img1.png" ALT="$ A$"> la matrice de <IMG WIDTH="13" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img2.png" ALT="$ f$"> dans la nouvelle base .(<IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img1.png" ALT="$ A$"> étant de taille <IMG WIDTH="40" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img3.png" ALT="$ n+1$">)
 <DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="159" HEIGHT="122" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img4.png" ALT="$\displaystyle \newline A = \begin{pmatrix}
\newline 0 &x& \cdots &x \\
\newlin......x& &x \\
\newline \vdots & & &\vdots\\
\newline 0 &x& \cdots &x \end{pmatrix}$"></DIV>
 où les "x" désignent des coef qui ne nous intéressent pas.
 En appelant <IMG WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img5.png" ALT="$ L$"> la première ligne de <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img1.png" ALT="$ A$"> privée de <IMG WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img6.png" ALT="$ a_{11}$"> et <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img7.png" ALT="$ C$"> la première colonne de <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img1.png" ALT="$ A$"> privée de <IMG WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img6.png" ALT="$ a_{11}$"> et <IMG WIDTH="19" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img8.png" ALT="$ A'$"> la matrice extraite de <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img1.png" ALT="$ A$"> en enlevant la première ligne et la première colonne on a :
 <IMG WIDTH="104" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img9.png" ALT="$ A= \begin{pmatrix}
\newline 0 & L \\
\newline C & A' \end{pmatrix}$">
 Or <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img1.png" ALT="$ A$"> de trace nulle donc <IMG WIDTH="19" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img8.png" ALT="$ A'$"> est de trace nulle aussi.
 
 Par hypothèse de récurrence il existe une matrice <IMG WIDTH="16" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img10.png" ALT="$ Q$"> de taille <IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img11.png" ALT="$ n$"> inversible telle que <IMG WIDTH="97" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img12.png" ALT="$ Q^{-1} A' Q =D$"> où <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img13.png" ALT="$ D$"> est une matrice <IMG WIDTH="42" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img14.png" ALT="$ n\times n$"> à diagonale nulle.
 Soit alors <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img15.png" ALT="$ P$"> la matrice par blocs :
 <DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="554" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63815/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle P=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}\qquad ;
\newline \q......wline \qquad P^{-1} A P =\begin{pmatrix}0& {}^tX \\ X & Q^{-1}A'Q \end{pmatrix}$"></DIV>
où <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/27/63814/cv/img17.png" ALT="$ X$"> est une colonne quelconque. D'où le résultat

Ce n'est pas trop confus j'espére. 
 
 [En LaTeX c'est quand même plus lisible :-) AD]

Th0t · July 2005

tssss en validant ça ma bouffé tous les beaux espaces que j'avais mis pour que les matrices soit claires dsl...

Th0t · July 2005

A=
0 x .................. x où les "x" designent des coef qui ne nous interes-
1 x................... x sent pas.
0 . .
. . .
. . .
. . .
0 x................... x

En appelant L la premiere ligne de A preivé de a11 et C la premiere colonne de A privée de a11 et A' la matrice extraite de A en enlevant la 1ere ligne et la premier colonne on a:

A=
0 L

C A'

or a de trace nulle donc A' est de trace nulle aussi.

par hypothese de recurrence il existe une matrice Q de taille n inversible telle que Q^-1 A' Q =D ou D est une matrice n*n à diagonale nulle.

Soit alors P la matrice par blocs:
P=
1 0.........0
0
.
. Q
.
0

P^-1 =
1 0.........0
0
.
. Q^-1
.
0

P^-1 A P =
0 x...........x
x
.
. Q^-1 A' Q
.

peut etre plus clair

domino0 · July 2005

ok merci bcp, en fait je sais pk je ne comprenais pas, c'est que je ne savais pas qu'on pouvait calculer en blocs comme ca, meme si en fait xc'est plus un truc technique qu'autre chose.

merci de ta patience en tout cas !

Garfield · July 2005

Salut,
une autre méthode classique de le montrer sans passer par le calcul par bloc est de raisonner ainsi :
Notons $(x,f(x),e_3,...,e_n)$ une base de $E$ et $A$ la matrice de $f$ dans cette base.
Notons aussi $p$ la projection sur$(f(x),e_3,...,e_n)$ paralellement à $x$.
$pof$ définit un endomorphisme de $vect (f(x),e_3,...,e_n)$ dont la matrice dans $(f(x),e_3,...,e_n)$ est $A$ où l'on a retiré la 1ere ligne et la 1ere colonne. On a donc un endo de trace nulle dans un espace de dimension $n-1$ et on peut lui appliquer la récurence. Donc on peut combiner les vecteurs $(f(x),e_3,...,e_n)$ pour obtenir un base dans laquelle la matrice de $pof$ est de diagonale nulle. En rajoutant $x$ à cette base on a une base pour $f$ telle que sa matrice soit de diagonale nulle...

Ca n'apporte pas grand chose mais si on n'aime pas le calcul par bloc et qu'on veut justifier la récurrence ca marche ..

oumpapah0 · July 2005

Bonjour,

Une remarque: le résultat est valable en caractéristique nulle (sinon..)
par ex avec R ou C
( en effet le raisonnement de Garfield demande l'existence de x,f(x) libres
pour amorcer la preuve, ce qui exige que f ne soit pas une homothétie
et en caractéristique nulle une homothétie non nulle a le droit d'avoir une trace nulle
par ex l'identité si dimE est multiple de la caractéristique)

Une jolie application de ce résultat:
" un crochet" uv-vu est de trace nulle( avec u et v endo de E de dim finie )banal
réciproquement tout endo de trace nulle est un crochet ( si le corps est de
caractéristique nulle)

Oump.

Alain Debreil · July 2005

On a les grandes lignes donc voilà pour le calcul. Je change un peu les notations pour pas utiliser trop de lettres.
Soit $A$ la matrice de $f$ dans la nouvelle base .($A$ étant de taille $n+1$)
$$
A = \begin{pmatrix}
0 &x& \cdots &x \\
1 &x& \cdots &x \\
0 &x& &x \\
\vdots & & &\vdots\\
0 &x& \cdots &x \end{pmatrix}$$
où les "x" désignent des coef qui ne nous intéressent pas.
En appelant $L$ la première ligne de $A$ privée de $a_{11}$ et $C$ la première colonne de $A$ privée de $a_{11}$ et $A'$ la matrice extraite de $A$ en enlevant la première ligne et la première colonne on a :
$ A= \begin{pmatrix}
0 & L \\
C & A' \end{pmatrix}$
Or $A$ de trace nulle donc $A'$ est de trace nulle aussi.

Par hypothèse de récurrence il existe une matrice $Q$ de taille $n$ inversible telle que $Q^{-1} A' Q =D$ où $D$ est une matrice $n\times n$ à diagonale nulle.
Soit alors $P$ la matrice par blocs :
$$P=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}\qquad ;
\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & Q^{-1} \end{pmatrix}\qquad ;
\qquad P^{-1} A P =\begin{pmatrix}0& {}^tX \\ X & q^{-1}A'Q \end{pmatrix}$$
où $X$ est une colonne quelconque. D'où le résultat

Ce n'est pas trop confus j'espére.

Alain Debreil · July 2005

$$P=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}\qquad ;
\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & Q^{-1} \end{pmatrix}\qquad ;
\qquad P^{-1} A P =\begin{pmatrix}0& {}^tX \\ X & Q^{-1}A'Q \end{pmatrix}$$

riri · July 2005

bonjour Oumpapah. connais-tu une démo de ton application autre que l'étude de l'endo qui, si je me souviens bien, fixe une matrice diagonale à coeffs distincts D et à M associe MD-DM ?

oumpapah0 · July 2005

Bonsoir

à priori non , il s'agit de cette demo , tellement élémentaire que je n'ai jamais éprouvé le besoin d'en chercher une autre!
(avec M à diagonale nulle on cherche D diago à termes deux à deux distincts et on a tout de suite une solution)

Oump.

oumpapah0 · July 2005

Bonjour

je suis parfois dislexique.
on se donne D diagonale à termes deux à deux distincts et N à diagonale nulle et on determine M telle que MD-DM=N
bien sur..

Oump.

endomorphisme de trace nulle

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Bonjour!

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