exercice série
je n'arrive pas à faire l'exercice 3 du lien ci -dessous
<http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg_fichiers/evaasymp.pdf>
merci d'avance aux âmes charitables
<http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg_fichiers/evaasymp.pdf>
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Réponses
je n'ai pas d'idée particulière pour l'exercice 3
pour l'exercice lié à n! et son équivalent pour n grand, il s'agit de l'approximation de Binet qui améliore sensiblement celle de Stirling
on trouve: n!~
rac(2pi.n)[n/e]^n[1 + 1/12n + 1/2(12n)² - 139/30(12n)^3 - 617/15(12n)^4 + ....]
la formule de Binet s'obtient assez facilement avec la fonction Gamma qui réalise l'interpolation réelle de factorielle n
et on utilise en effet les nombres de Bernoulli pour les coefficients de 1/(12n)^p
cordialement
Par hypothèse, il existe $a>0$ tel que $x>a$ implique $f'(x)a$, alors par integration sur l'intervalle $[a,n]$ on a :
$$ \ln (f(n))- \ln (f(a))
pareil pour obtenir un équivalent du reste, je bloque complètement
Soit $a >0$, il existe $b>0$ tel que $x>b$ implique $ f'(x)b$, alors $f(n+1)
$1
on peut écrire
$R_n$ = f(n+1) + $\sum\limits_{k=2}^{\infty}$ f(n+k)
comme f>0 $R_n$ > f(n+1) donc
$1A alors $\frac{f'(x)}{f(x)}A
$\int_{n+1}^{n+k} \frac{f'(x)}{f(x)}dx
L'erreur est à l'indexation de ta somme, elle part de 0 (ou 1 enfin on s'en fout...) et pas de n+2.
je ne vois pas mon erreur
merci de l'expliciter davantage
par ailleurs j'utilise bien $\frac{f'}{f}=- \infty$
<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="680" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/29/63873/cv/img1.png" ALT="$ \displaystyle f(n+k)<e^{-k+1}f(n+1)\Rightarrow \ \sum_{k=2}^{\infty} f(n+k)< \sum_{k=2}^{\infty}e^{-k+1}f(n+1)=f(n+1)\frac{e^{-2}}{1-e^{-1}}\neq o(f(n+1))$"></SPAN>
<BR>En fait, tu n'utilises pas <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="72" HEIGHT="41" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/29/63873/cv/img2.png" ALT="$ \frac{f'}{f}\rightarrow -\infty$"></SPAN> mais une version plus faible: <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="60" HEIGHT="41" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/29/63873/cv/img3.png" ALT="$ \frac{f'}{f}<-1$"></SPAN> pour t assez grand.<BR>
pour tout $a>0$, il existe $b_a$ tel que pour tout entier $n$ vérifiant $n+1\geqslant b_a$, on a :
$00$. Comme $\frac{e^{-a}}{1-e^{-a}}\xrightarrow[a\rightarrow+\infty]{}0$
il existe $a_0>0$ tel que $\frac{e^{-a_0}}{1-e^{-a_0}}\leqslant\varepsilon$
Or on sait qu'il existe $b_{a_0}>0$ tel que :
$\forall n\in\N$, $n+1\geqslant b_{a_0}$, on a :
$0
j'ai compris la démo de attaoui
Le a>0 est $\underline{quelconque}$ au départ et il arrive à prouver que
$\displaystyle
1