compacts=fermés bornés en dim finie

la voie · July 2005

bonjour à tous

j'essaye de montrer que les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sur $\R$ ou $\C$ sont exactement les fermés bornés.

pour le sens réciproque je procède ainsi :

étant donné un recouvrement ouvert R de F un fermé borné de E je montre que :

étant donné une suite d'ouverts de R $u_i$ on leur associe une suite de boules $B_i$ telle que $B_i$ inclue dans $u_i$

on suppose que la suite des rayons des $B_i$ tend vers 0 quelquesoit la suite $B_i$ choisie. Alors cela veut dire qu'à partir d'un certain rang tous les $u_i$ sont inclus dans une boule $B_{n_0}$ (en effet à chaque $u_i$ on peut associer un point de F $x_i$ et la condition sur les rayon traduit la convergence de cette suite dont la limite (qui ne dépend pas de la suite choisit) est donc dans F car fermé) ils sont donc tous inclus dans $u_{n_0}$

on peut donc supposer que la suite $r_i$ des rayons ne tend pas vers 0.

et donc il éxiste r>0 tel que pour tout $i\,\in\,\N$ $u_i$ contient une boule de rayon r.

et enfin on conclut par le fait que, si on note M la besure de lebesgue on a :

$$M(F\u_1)

god like · July 2005

oulala je viens de me rendre compte d'une belle erreur deja (ca commence bien)

bon évidement on ne peut pas conclure que les $u_i$ sont tous inclus dans une boule $B_{n_0}$ il faut de plus supposer qu'il éxiste une suite de boules $S_i$ telle qu'à partir d'un certain rang $u_i$ soit inclu dans $S_i$ et que la suite des rayons des $S_i$ tende vers 0.

mais bon du coup tout devient bancal et g pas le courage de compléter tout ça...

avis aux motivés

t-mouss

irakos5 · July 2005

Je dis peut-être des bêtises, mais ça a l'air faisable en utilisant la caractérisation de Bolzano-Weierstraß (comment j'me la pète !) en reprenant textuellement la démo que [0,1]^n est compact (par (di)^n-chotomie).

イラコシ五

Alain Debreil · July 2005

Bonjour à tous
j'essaye de montrer que les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ sont exactement les fermés bornés.

Pour le sens réciproque je procède ainsi :
Etant donné un recouvrement ouvert $\mathcal{R}$ de $F$ un fermé borné de $E$ je montre que :
étant donné une suite d'ouverts de $\mathcal{R},\ u_i$ on leur associe une suite de boules $ B_i$ telle que $ B_i \subset u_i$
On suppose que la suite des rayons des $ B_i$ tend vers 0 quelque soit la suite $ B_i$ choisie. Alors cela veut dire qu'à partir d'un certain rang tous les $ u_i$ sont inclus dans une boule $ B_{n_0}$ (en effet à chaque $ u_i$ on peut associer un point de $F,\ x_i$ et la condition sur les rayons traduit la convergence de cette suite dont la limite (qui ne dépend pas de la suite choisie) est donc dans $F$ car fermé) ils sont donc tous inclus dans $ u_{n_0}$
On peut donc supposer que la suite $ r_i$ des rayons ne tend pas vers 0.
et donc il existe $r>0$ tel que pour tout $i \in \mathbb{N},\ u_i$ contient une boule de rayon $r$.
et enfin on conclut par le fait que, si on note $M$ la mesure de Lebesgue on a :
$$M(F \setminus u_1)

LIAUTARD1 · July 2005

Bonjour

Une démostration rapide

le problème se ramène à R^n,pour montrer q'une partie K,fermée bornée de R^n est compacte il suffit de prouver que de toute suite on peut extraire une sous suite convergente.

Soit Xi une suite de K ,P1 la projection de R^n sur le premier facteur R
Les P1(Xi) sont bornés dans R on peut donc en extraire une sous suite convergente.

Donc à partir de la suite Xi on extrait une sous suite Yj telle que les P1(Yj) convergent dans R
Puis à partir de Yj,on construit uen sous suite Zk de Yj telle que P2(Zk) converge dans R.P2 projection sur le deuxiéme facteur

On continu et on arrive à une sou suite De Xi qui converge dans R^n et donc dans K qui est fermé.

cordialement