Noyaux et images itérés...

beh la dimension du noyau d'un morphismùe lineaire est minoré (plus grand ou egal a zéro) bref vu que c'est une suite decroissante minore par zero elle converge vers un nombre positif ou nul mais une suite convergente a valeur dans IN est stationnaire(def de la convergence avec esp=1/2) et pour montrer que la limite est dans Z tu prend l pas dans Z via la partie entiere tu enferme l entre deux entiers consécutif et tu prend esp plus petit que la distance de l au extremité si un converge vers l on a un est dans un intervalle contenant l et ne contenant pas un entier c'est pas possible car un est entier ) ,
sinon tu poses a=min(dim(ker(f^p))) le min est bien atteint(car minoré) donc il existe po telque dim(ker(f^po)=a et on a dim(ker(fpo+k))=<dim(ker(fpo))=a d'ou dim(ker(f^po+k))=a

stationnaire ca veut dire que la suite ne bouge plus a partir d'un certain rang ,mais si la suite converge vers un certain l app IR elle doit etre autour de l mais autour de l si tu prend un voisinage suffisament petit il n'y a qu'un seul entier le l en question donc tout les termes de la suite doivent entre egal a l a partir d'un certain rang ,fait des dessins tu va voir c'est presque évident.
sinon une autre voix possible c'est d'utiliser le fait qu'une suite convergente est de cauchy et tu prend esp=1/3 il exsite un rang N a partir du quel |uN-uN+k|<1/3 et tu connais beaucoup de nombre entier qui verifie cela ....

mais utilise plutot le deuxieme raisonnement c'est plus algébrique
ca utilise la propriete fondamentale de IN un partie minore de Z atteint son minimun et vu que la suite est decroissante elle est forcément

sinon pour donner une image plus parlante imagine que tu est a la qinzieme marche d'un escalier et que tu peux descendre ou t'arreter et ne plus bouger aprés 15 mouvement t'es immobile

par contre la suite des noyau est croissante et la suite des image est decroissante faut remplacer tout ce que j'ai dit par im(f^p) au lieu de ker(f^p)...

oc

qu'est ce que tu entend par de facon plus general ,sur un espace de dimension infini ?mais dans ce cas la dimension du noyau itere peux rester infini j'ai pas d'exemple peut etre f->f'(0)*x+f(0) sur les application c^oo et on a pop=p donc la dimension du noyau reste la meme elle est infini ...

oui si ca marche dans Z ca marche dans IN ,j'ai ecrit des Z a la place des IN
remplace tous par des IN si tu veux mais ca ne change rien ,dezole mais je suis trés brouillon ...

Clotho a posé la question intéressante du problème inverse de la suite des noyaux itérés ie étant donné un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ et une suite croissante $d_0=0\leq d_1\leq\dots\leq d_p=n$, existe-t-il un endomorphisme $f$ de $E$ tel que pour chaque $i$, on ait $\dim\ker f^i=d_i$ ?\\

Je n'ai pas regardé la question mais je suis persuadé qu'il faut et il suffit que la suite $d_i$ \textit{meure en s'éssoufflant} ie que si $e_i=d_{i+1}-d_i$ alors la suite des $e_i$ est décroissante et nulle à par partir d'un certain rang.\\


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trivecteur

Je veux bien te répondre mais à quelle question ? celle que tu as posé en début de fil le 07-24-05 13:41 ou celle du 07-24-05 14:37 ou autre chose encore ?


trivector

Si on prend un y dans I(p+n) alors il existe un x dans E tel que y=f^(n+p)(x) mais alors y=f^n(f^p(x)).
Si on pose x2=f^p(x), on a bien y=f^n(x2) avec x2 dans I(p).

Je crois que l'essentiel a été dit par oc. Supposons que la dimension de $E$ soit $N$. Faisons l'hypothèse que les $N+2$ sev $I_0,\dots,I_{N+1}$ soient deux à deux distincts. Alors, à cause des inclusions $I_0\subset\dots\subset I_{N+1}\subset E$, on aurait les inégalités strictes $\dim I_0

juste un petit truc auquel je crois on n'a pas répondu et qui ne doit plus te poser de pb:

tu te demande pourquoi on à f^n°f^p=f^(n+p)

f^n signifie composer n fois par f soit f°f°...°f où f apparait n fois.

f^n°f^p veux dire que tu compose par f p fois puis n fois...au total si tu fais

f^n°f^p (x) tu aura appliquer p+n fois f à x.c'est tout.si tu veux le dem à partir de f^n+1=f^n°f une recurrence marche bien.

Sinon pour les questions de somme direct ,ce qui interessant et simple a montrer c'est qu'a partir du moment où 2 noyaux iterés sont egaux (i.e ker( f^p )=ker( f^p+1) on à (en dim finie) E qui est la somme directe de im(f^p) et ker(f^p)

Bonsoir,

Apparemment clotho a mal interpréte mon commentaire : la somme directe en question n'est pas celle de Imf et kerf ( tout au moins en général) mais celle de Imf^p et ker f^p pour p entier tel que Imf^q =Imf^p
pour q>p....

et donc on a E somme directe de Imf et Kerf ssi Imf²=Imf ou ssi kerf=Kerf²

Oump.