Césaro bidouillé

Bonjour,

Comme les suites $(u_{n})_{n}$ et $(v_{n})_{n}$ sont convergentes, elles sont bornées. Donc, il existe $M>0$ tel que pour tout $n\in\N$, $|u_{n}|\leq M$ et $|v_{n}|\leq M$. On a alors aussi : $|u|\leq M$ et $|v|\leq M$.
Soit $\varepsilon >0$ fixé. Il existe $p\in \N$ tel que si $k\geq p$, alors $|u_{k}-u|\leq \varepsilon$ et $|v_{k}-v|\leq \varepsilon$.
Si $n\geq 2p$, on a alors :
$\frac{1}{n+1}|u_{0}v_{n}+....+u_{n}v_{0}-(n+1)uv|\leq \frac{1}{n+1}.(|u_{0}||v_{n}|+....+|u_{p-1}|v_{n-p+1}|+
|u_{n-p+1}||v_{p-1}|$
$+....+|u_{n}||v_{0}|+2p|u||v|)+\frac{1}{n+1}(|u_{p}v_{n-p}-uv|
+....+|u_{n-p}-v_{p}|)$

$\leq \frac{1}{n+1}(4pM^{2})+\frac{1}{n+1}(|u_{p}v_{n-p}-uv|
+....+|u_{n-p}-v_{p}|)$.

Or, si $p\leq k\leq n-p$, alors : $|u_{k}v_{n-k}-uv|\leq |u_{k}||v_{n-k}-v|
+|v||u_{k}-u|\leq 2M\varepsilon$.

On en déduit que :

$\frac{1}{n+1}|u_{0}v_{n}+....+u_{n}v_{0}-(n+1)uv|\leq \frac{1}{n+1}(4pM^{2})+\frac{n-2p+1}{n+1}2M\varepsilon$.

D'où le résultat.

Amicalement.
Olivier.

Bonjour

Je pense qu'on a aussi

$\frac{1}{n+1}\sum_{i+j \leq n}u_i v_j$ converge vers $uv$?\\


Il suffit d'appliquer le theoreme de la convergence monotone !

Bonsoir,
Integ c'est faux: tu prends $u_i=v_j=1$...

Richard André J. : c'est super ton astuce...!
Merci
alain.