Série entière
dans Les-mathématiques
<!--latex-->Bonjour,
<BR>
<BR>Avant de poser ma petite question, j'ai bien regardé que personne n'avait donné quelque chose de similaire. Si finalement, quelqu'un avait déjà posé une question identique, je vous prie de m'en excuser.
<BR>
<BR>Alors, je dois trouver le rayon de convergence et la somme d'une série entière : <!-- MATH \begin{displaymath}u_n(x)=a_nx^n {\rm\quad où \quad} a_n=\sum_{k=0}^n k.k!/n!\end{displaymath} --><P></P><DIV ALIGN="CENTER"><IMG WIDTH="260" HEIGHT="60" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/1/60475/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle u_n(x)=a_nx^n {\rm\quad où \quad} a_n=\sum_{k=0}^n k.k!/n!$"></DIV><P></P>
<BR>Je suis un peu coincée ... une petit coup de main serait le bienvenu.
<BR>Merci d'avance.<BR>
<BR>
<BR>Avant de poser ma petite question, j'ai bien regardé que personne n'avait donné quelque chose de similaire. Si finalement, quelqu'un avait déjà posé une question identique, je vous prie de m'en excuser.
<BR>
<BR>Alors, je dois trouver le rayon de convergence et la somme d'une série entière : <!-- MATH \begin{displaymath}u_n(x)=a_nx^n {\rm\quad où \quad} a_n=\sum_{k=0}^n k.k!/n!\end{displaymath} --><P></P><DIV ALIGN="CENTER"><IMG WIDTH="260" HEIGHT="60" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/1/60475/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle u_n(x)=a_nx^n {\rm\quad où \quad} a_n=\sum_{k=0}^n k.k!/n!$"></DIV><P></P>
<BR>Je suis un peu coincée ... une petit coup de main serait le bienvenu.
<BR>Merci d'avance.<BR>
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Avant de poser ma petite question, j'ai bien regardé que personne n'avait donné quelque chose de similaire. Si finalement, quelqu'un avait déjà posé une question identique, je vous prie de m'en excuser.
Alors, je dois trouver le rayon de convergence et la somme d'une série entière : $$u_n(x)=a_nx^n {\rm \quad où \quad} a_n=\sum_{k=0}^n k.k!/n!$$
Je suis un peu coincée ... une petit coup de main serait le bienvenu.
Merci d'avance.
Mais en fait je pensais à un produit de Cauchy peut-être...
Zantac t'as vendu la mèche: k.k!=(k+1)!-k!
et si tu sommes de 1 à n il reste après simplification:
a(n)=((n+1)!-1]/n! soit n+1-1/n!
le rayon de convergence est donc 1 puisque la somme de (k+1)x^k pour k variant de 1 à l'infini converge pour x < 1 (l'autre facteur converge quelle que soit x)
cordialement
c'est sûr que si je trouvais pas la relation que vous m'avez donné, je pouvais chercher encore longtemps !
Merci ! merci ! merci !
$ u_n \leq n^2 x^n $ en valeur absolue(dsl je sais pas faire la valeur absolue ) . non?ou alors je fatigue.
on a 1.1!+..+n.n!<=n[1!+2!+..+n!]<=n[(n-1)(n-1)!+n!]<=n[2.n!]
d'ou |u(n)|<=2n
donc le rayon est au moins 1
et comme n<=u(n) le rayon est au plus 1
( un conseil : toujours penser à apprivoiser |u(n)| par des encadrements
par ex si 1/n^1000 <= |u(n)| <= n^10000
le rayon vaut betement 1...)
Oump