Matrice de passage à la transposée...

Ben non parce qu'on aurait en particulier $JI=I$ soit $J=I$ ; or pour $A$ non symétrique $J$ ne convient pas...

Par contre la transposition est linéaire donc on peut écrire sa matrice $n^2 \times n^2$ dans un base de matrices (style $E_{ij}$).

Je t'en prie !

Question subsidiaire : existe-t-il $P$ et $Q$, de taille $n \times n$ et inversibles, telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = Q^{-1}AP$ ?

si si A et sa transposée sont semblables seulement il faut juste voir que la matrice de changement de base n'est pas toujours la même.

Une matrice A est semblable à sa transposée : il suffit de regarder ce qui se passe pour un bloc de Jordan, et là, regarder ce que ça donne si on permutte l'ordre des vecteurs de base.

Supposons par l'aburde qu'il existe $P$ et $Q$, de taille $n \times n$ et inversibles, telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = Q^{-1}AP$ .

En particulier pour $A = I$ il vient $Q^{-1} P= I$ donc $P=Q$ .

De même pour $A=P$ il vient $\displaystyle{^tP}=P$ .
$P$ symetrique réelle (donc diagonalisable).

$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = \displaystyle{^tP}^{-1}AP$ donne \displaystyle{^t AP} = A P$.
Donc $AP$ est symetrique reelle (donc diagonalisable).

De même en appliquant l'égalité cidessus a $A=\displaystyle{^tA} $ il vient

$A=P^{-1} \displaystyle{^tA} P $ donc en remplaçant \displaystyle{^tA} par son expression en fonction de A il vient $P^2 A =A P^2$ et de meme $P^3 A =A P^3$ (ceci est vrai pour tout $n$).

Grâce a ceci montrons que $P$ et $PA$ commutent.
$P^2 A =A P^2$ donc$PA=P^{-1} AP^2$
donc $(PA)P=P^{-1} AP^3 =P^{-1} P^3 A=P^2A =AP^2=P^2A=P(PA)$

Or $P$ et $PA$ sont diagonalisables donc diagonalisent dans une meme base (car commutent)

On écrit $A=P^{-1} (PA)$ dans cette base et on vois alors que $A$ est diagonalisable!!!
Absurde car toutes les matrices reelles ne sont pas diagonalisables

Supposons par l'aburde qu'il existe $P$ et $Q$, de taille $n \times n$ et inversibles, telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = Q^{-1}AP$.

En particulier pour $A = I$ il vient $Q^{-1} P= I$ donc $P=Q$ .

De même pour $A=P$ il vient $\displaystyle{^tP}=P$ .
$P$ symetrique réelle (donc diagonalisable).

$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = \displaystyle{^tP}^{-1}AP$ donne $\displaystyle{^t AP} = A P$.
Donc $AP$ est symetrique reelle (donc diagonalisable).

De même en appliquant l'égalité ci-dessus a $A=\displaystyle{^tA} $ il vient

$A=P^{-1} \displaystyle{^tA} P $ donc en remplaçant $\displaystyle{^tA}$ par son expression en fonction de $A$ il vient $P^2 A =A P^2$ et de meme $P^3 A =A P^3$ (ceci est vrai pour tout $n$).

Grâce a ceci montrons que $P$ et $PA$ commutent.
$P^2 A =A P^2$ donc$PA=P^{-1} AP^2$
donc $(PA)P=P^{-1} AP^3 =P^{-1} P^3 A=P^2A =AP^2=P^2A=P(PA)$

Or $P$ et $PA$ sont diagonalisables donc diagonalisent dans une meme base (car commutent)

On écrit $A=P^{-1} (PA)$ dans cette base et on vois alors que $A$ est diagonalisable!!!
Absurde car toutes les matrices reelles ne sont pas diagonalisables

je suis vraiment vraiment fatigué!!!la demo s'arrete quand on a$PA$ symetrique car alors pour toute matrice $M$ on a $M=PA$

avec $A=(P^{-1}M)$ Or toute matrice n'etant pas symetrique on a la conclusion.
Bon je vais dormir un peu,ça me reposera peu etre mes 3 neurones

c'est pas la peine de lire ce passage .En fait j'avais cru que l'on etait dans $\R$ et pas dans $\K$ ,voila pour quoi la deuxieme version marche mieux.En fait pour etre plus clair je la refais ici tel que je la crois bonne.

Supposons par l'aburde qu'il existe $P$ et $Q$, de taille $n \times n$ et inversibles, telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = Q^{-1}AP$ .


En particulier pour $A = I$ il vient $Q^{-1} P= I$ donc $P=Q$ .
De même pour $A=P$ il vient $\displaystyle{^tP}=P$ .

$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = \displaystyle{^tP}^{-1}AP$ donne $\displaystyle{^t {AP}} = A P$.

Ainsi $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $AP$ symetrique.

Soit alors par exemple $M$ une matrice antisymetrique $M=AP$ avec $A=MP^{-1}$

Absurde. (remarque la premierre methode(lourde)marche dans $\R$ )

<!--latex-->Pour moi c'est c'est bon mais je ne sais pas si Greensmile a eu le temps de lire ce post et de chercher...
<BR>
<BR>Tout cela me fait penser a un exo que j'aime bien avec les matrices et qui parle de similitudes( <IMG WIDTH="58" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/05/12/58917/cv/img1.png&quot; ALT="$ P^{-1}AP$"> ).
<BR>Voila:montrer que toute matrice de trace nulle est semblable a une matrice a diagonale nulle <BR>
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Pour moi c'est c'est bon mais je ne sais pas si Greensmile a eu le temps de lire ce post et de chercher...

Tout cela me fait penser a un exo que j'aime bien avec les matrices et qui parle de similitudes( $P^{-1}AP$ ).
Voila:montrer que toute matrice de trace nulle est semblable a une matrice a diagonale nulle