Matrice de passage à la transposée...
Bonjour à tous :-)
Je me demande, $\displaystyle{\exists ? J\in{\cal M}_n\left(\C\right)|\forall A \in {\cal M}_n\left(\C\right), A×J=\,^tA}$, voire, $\displaystyle{\exists ? J\in{\cal M}_n\left(\C\right)|\forall A \in {\cal M}_n\left(\C\right), J×A=\,^tA}$.
J'ai demandé ça l'aut' jour à un pote, il m'a répondu : "si ça existait, ça s'saurait...". Le problème, c'est que moi, je n'le sais pas, et j'aimerais bien le savoir (-:
Pouvez-vous trancher SVP ?
@mitiés,
Greensmile.
J+13
Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...
Je me demande, $\displaystyle{\exists ? J\in{\cal M}_n\left(\C\right)|\forall A \in {\cal M}_n\left(\C\right), A×J=\,^tA}$, voire, $\displaystyle{\exists ? J\in{\cal M}_n\left(\C\right)|\forall A \in {\cal M}_n\left(\C\right), J×A=\,^tA}$.
J'ai demandé ça l'aut' jour à un pote, il m'a répondu : "si ça existait, ça s'saurait...". Le problème, c'est que moi, je n'le sais pas, et j'aimerais bien le savoir (-:
Pouvez-vous trancher SVP ?
@mitiés,
Greensmile.
J+13
Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...
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Réponses
Par contre la transposition est linéaire donc on peut écrire sa matrice $n^2 \times n^2$ dans un base de matrices (style $E_{ij}$).
J'voulais juste te remercier (((-:
@mitiés,
Greensmile.
J+13
Question subsidiaire : existe-t-il $P$ et $Q$, de taille $n \times n$ et inversibles, telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = Q^{-1}AP$ ?
si c'est vrai pour tout $A$ alors en particulier pour $I$ on a $Q^{-1} P =I$
Donc $Q=P^{-1}$.
Ainsi il faudrait que $A$ et sa transopsée soit semblables...faux si l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ n'est pas autoadjoint
Est-ce une condition nécessaire et suffisante ?. Je veux écrire : est-ce que $\displaystyle{A}$ semblable à (et pas forcément égal à) $\displaystyle{^tA}$ est équivalent à ce que l'endomorphisme associé soit autoadjoint, ce qui est équivalent à ce que $\displaystyle{A}$ est symétrique ?.
J'ai un peu gratté une feuille de brouillon, dans l'espoir que ça mène à quelque chose...
En tout cas, merci de ton aide (-:
@mitiés,
Greensmile.
J+14
Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...
j'ai fais proprement l'exo(je crois )je le post d'ici peu
En particulier pour $A = I$ il vient $Q^{-1} P= I$ donc $P=Q$ .
De même pour $A=P$ il vient $\displaystyle{^tP}=P$ .
$P$ symetrique réelle (donc diagonalisable).
$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = \displaystyle{^tP}^{-1}AP$ donne \displaystyle{^t AP} = A P$.
Donc $AP$ est symetrique reelle (donc diagonalisable).
De même en appliquant l'égalité cidessus a $A=\displaystyle{^tA} $ il vient
$A=P^{-1} \displaystyle{^tA} P $ donc en remplaçant \displaystyle{^tA} par son expression en fonction de A il vient $P^2 A =A P^2$ et de meme $P^3 A =A P^3$ (ceci est vrai pour tout $n$).
Grâce a ceci montrons que $P$ et $PA$ commutent.
$P^2 A =A P^2$ donc$PA=P^{-1} AP^2$
donc $(PA)P=P^{-1} AP^3 =P^{-1} P^3 A=P^2A =AP^2=P^2A=P(PA)$
Or $P$ et $PA$ sont diagonalisables donc diagonalisent dans une meme base (car commutent)
On écrit $A=P^{-1} (PA)$ dans cette base et on vois alors que $A$ est diagonalisable!!!
Absurde car toutes les matrices reelles ne sont pas diagonalisables
En particulier pour $A = I$ il vient $Q^{-1} P= I$ donc $P=Q$ .
De même pour $A=P$ il vient $\displaystyle{^tP}=P$ .
$P$ symetrique réelle (donc diagonalisable).
$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = \displaystyle{^tP}^{-1}AP$ donne $\displaystyle{^t AP} = A P$.
Donc $AP$ est symetrique reelle (donc diagonalisable).
De même en appliquant l'égalité ci-dessus a $A=\displaystyle{^tA} $ il vient
$A=P^{-1} \displaystyle{^tA} P $ donc en remplaçant $\displaystyle{^tA}$ par son expression en fonction de $A$ il vient $P^2 A =A P^2$ et de meme $P^3 A =A P^3$ (ceci est vrai pour tout $n$).
Grâce a ceci montrons que $P$ et $PA$ commutent.
$P^2 A =A P^2$ donc$PA=P^{-1} AP^2$
donc $(PA)P=P^{-1} AP^3 =P^{-1} P^3 A=P^2A =AP^2=P^2A=P(PA)$
Or $P$ et $PA$ sont diagonalisables donc diagonalisent dans une meme base (car commutent)
On écrit $A=P^{-1} (PA)$ dans cette base et on vois alors que $A$ est diagonalisable!!!
Absurde car toutes les matrices reelles ne sont pas diagonalisables
avec $A=(P^{-1}M)$ Or toute matrice n'etant pas symetrique on a la conclusion.
Bon je vais dormir un peu,ça me reposera peu etre mes 3 neurones
Ta démo est très intéressante !. Malheureusement, je ne comprends pas :
$\displaystyle{^tP=P\Rightarrow P}$ est symétrique {\bf réelle} ? je ne vois pas pourquoi... Ai-je aussi les neurones à plat ?
Merci beaucoup de ton attention en tout cas (-:
@mitiés,
Greensmile.
J+15
Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...
Supposons par l'aburde qu'il existe $P$ et $Q$, de taille $n \times n$ et inversibles, telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = Q^{-1}AP$ .
En particulier pour $A = I$ il vient $Q^{-1} P= I$ donc $P=Q$ .
De même pour $A=P$ il vient $\displaystyle{^tP}=P$ .
$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \ ^t \! A = \displaystyle{^tP}^{-1}AP$ donne $\displaystyle{^t {AP}} = A P$.
Ainsi $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $AP$ symetrique.
Soit alors par exemple $M$ une matrice antisymetrique $M=AP$ avec $A=MP^{-1}$
Absurde. (remarque la premierre methode(lourde)marche dans $\R$ )
Juste pour rire, et pour faire bosser un peu Greensmile, un petit dernier, plus facile en fait : étant donnés $n,p \in \N$, existe-t-il $P,Q \in \mathcal{M}_{p,n}(\K)$ telles que :
$$\forall A \in \mathcal{M}_{n,p}(\K), \ ^t \, A = PAQ$$
Hé hé (pour info j'avais eu tout ça en colle en sup).
<BR>
<BR>Tout cela me fait penser a un exo que j'aime bien avec les matrices et qui parle de similitudes( <IMG WIDTH="58" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/05/12/58917/cv/img1.png" ALT="$ P^{-1}AP$"> ).
<BR>Voila:montrer que toute matrice de trace nulle est semblable a une matrice a diagonale nulle <BR>
<BR>
[une expression mathématique est encadrée par des $ . AD]
Tout cela me fait penser a un exo que j'aime bien avec les matrices et qui parle de similitudes( $P^{-1}AP$ ).
Voila:montrer que toute matrice de trace nulle est semblable a une matrice a diagonale nulle