Polynomes et matrices, simple question, merci !

SANDRA2 · May 2005

Bonjour,

Je dispose de deux polynomes P et Q, avec (PQ)(A)=P(A)Q(A)

Comment exprimer p(M^(-1)AM) à l'aide de P(A),M et M^-1 (M est une matrice carrée de taille 3 inversible) ?

Merci à vous

Volny DE PASCALE0 · May 2005

Bonjour,

à quoi sert le polynôme Q ?

Volny

Th0t · May 2005

P(M^(-1)AM) = M^(-1)P(A)M

essaye avec des monomes il est facil de voir que (M^(-1)AM) ^n =M^(-1)A^nM

SANDRA2 · May 2005

re-bonjour,

En fait il s'agit d'un exercice très long, j'en suis à la fin là et j'ai besoin de cette question pour faire la suite sur des matrices.
En fait le polynome P sert à introduire des matrices dans l'exo,
le polynome P est : (X-1)²(X-2) (j'avais oublié de le préciser)

je ne vois pas comment m'amener a du P(A),M et M^-1 en m'aidant de (PQ)(A)=P(A)Q(A) et je ne comprends pas trop comment m'en sortir avec les monomes ??

En vous remerciant !

Volny DE PASCALE0 · May 2005

Ce que te dis Th0T est que si tu formes $(M^{-1}AM)^2}$ tu trouves

$(M^{-1}AM)(M^{-1}AM)$ est-il besoin d'en écrire plus pour te convaincre que $(M^{-1}AM)^n=(M^{-1}A^nM)$ ?

A partir de là tu écris que $P(M^{-1}AM) = \sum_{i=0}{n} a_i.(M^{-1}AM)^i$.

A suivre...

Volny

Th0t · May 2005

ben par exemple : $( M^{-1} A M ) ^2 = ( M^{-1}AM )*(M^{-1}AM )$
$=M^{-1} A [MM^{-1}] A M$ par associativité
$=M^{-1} A A M$ car $M^{-1}*M=I$
$=M^{-1} A^2 M$

quand tu le fais pour $(M^{-1} A M )^n$ c'est pareil tu peux simplifier a chaque fois par M^-1M donc tu trouve que $(M^{-1} A M) ^n = M^{-1} A^n M$

Or un polynome c'est une somme de monomes : $a_nX^n$ doncpar linearité tu en deduit que $P(M^{-1} A M) = M^{-1} P(A) M$

SANDRA2 · May 2005

Je vais réessayer avec ce que vous me proposez!
Je me demande s'il n'y a pas plus simple, à mon avis je dois etre passée à côté, la question n'est qu'une transition pour une autre question sur les matrices ...

P(M^-1AM) serait donc égal à M^-1P(A)M ... ?