Extrema du determinant
dans Les-mathématiques
Bonjour , je suis en spé et j'aimerais un petit conseil pour conclure ce probleme.Voici ce que j'ai deja fait:
Soit $n$ un entier strictement positif.
On considère l'application $det$ qui à une matrice réelle $ A$ de taille $n$ associe $det(A)$ .
Le but est d'étudier les extrema éventuels de $det$ .
De maniere simple on obtient que les points critiques se situent au niveau des matrices de rang inférieur ou égal à $n-2$ .
Bien sur le determinant d'une telle matrice étant nul il n'y à pas d'extrémum global(le determinant de l'identité vallant 1 et celui de la meme matrice ou l on remplace simplement un $1$ par un $-1$ est $-1$ )
Mon problème se situe au niveau des extrema locaux.J'ai réussi à montrer que si la dimension du sous espace propre associé à $0$ de mon point critique est impair alors il n'y a pas d'extremum(avec une suite de matrices inversibles de determinant strictement positif ou négatif tendant vers mon point critique).
Mais quand la dimension du sous espace est paire je suis bloqué(la parité "absorbe " mes signes...)
Merci d'avance.Je suppose que comme d'habitude je me lance peut etre dans quelque chose de trop compliqué et qu'il y a plus simple.Merci alors de me signaler juste des "pistes" pour avoir le plaisir de trouver tout seul (ou presque
).
Soit $n$ un entier strictement positif.
On considère l'application $det$ qui à une matrice réelle $ A$ de taille $n$ associe $det(A)$ .
Le but est d'étudier les extrema éventuels de $det$ .
De maniere simple on obtient que les points critiques se situent au niveau des matrices de rang inférieur ou égal à $n-2$ .
Bien sur le determinant d'une telle matrice étant nul il n'y à pas d'extrémum global(le determinant de l'identité vallant 1 et celui de la meme matrice ou l on remplace simplement un $1$ par un $-1$ est $-1$ )
Mon problème se situe au niveau des extrema locaux.J'ai réussi à montrer que si la dimension du sous espace propre associé à $0$ de mon point critique est impair alors il n'y a pas d'extremum(avec une suite de matrices inversibles de determinant strictement positif ou négatif tendant vers mon point critique).
Mais quand la dimension du sous espace est paire je suis bloqué(la parité "absorbe " mes signes...)
Merci d'avance.Je suppose que comme d'habitude je me lance peut etre dans quelque chose de trop compliqué et qu'il y a plus simple.Merci alors de me signaler juste des "pistes" pour avoir le plaisir de trouver tout seul (ou presque
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Réponses
as-tu calculé la differentielle du det ?
qui est un classique
regarde le mneme testard chez hermann
a+
dans la fin de son post dark vador faisait allusion' je pense, à l'ouvrage suivant :
"Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques "
de Rached Mneimné et Frédéric Testard
H.
Par multiplicativité du déterminant et par caractérisation connue du rang, on peut se ramener à l'étude en une matrice $A$ diagonale, $A=\text{diag}(1,\dots,1,0,\dots,0)$ (il y a $r$ fois 1 où $r$ est le rang et $n-r$ fois 0). \\
Ensuite, il y a deux cas. Si $r=n$ alors $\det\text{diag}(1+h,1,\dots,1)-\det(A)=h$ de signe non constant et si $r
Bon ben finalement j'étais sur la bonne voie:) merci Trivecteur,j'avais trigonalisé mais tout cela revient au même