Hypothèses du th dérivation des intégrales à paramètre (version itérée).

Bonjour à tous :-)

Pouvez-vous me confirmer, ou bien m'infirmer, ce qui va suivre :

$\displaystyle{I}$ et $\displaystyle{J}$ étant des intervalles de $\displaystyle{\R}$, on définit $\displaystyle{F:J\mapsto F\left(J\right)\text{, }F:x\mapsto\underset{I}{\int}\left(f\left(t;x\right)\text{d}\left(t\right)\right)}$, on suppose
_$\displaystyle{\forall j\in \N\cap\left[0;k\right]}$ que $\displaystyle{\frac{\partial^j\left(f\right)}{\partial\left( x\right)^j}\left(t;x\right)}$ existe et que $\displaystyle{\forall \left(j;x\right)\in \N\cap\left[0;k\right]×J, t\mapsto \frac{\partial^j\left(f\right)}{\partial\left( x\right)^j}\left(t;x\right)}$ est continue par morceaux et que $\displaystyle{\forall \left(j;t\right)\in \N\cap\left[0;k\right]×I, x\mapsto \frac{\partial^j\left(f\right)}{\partial\left( x\right)^j}\left(t;x\right)}$ est continue.
_$\displaystyle{\forall x\in J, t\mapsto f\left(t;x\right)}$ est intégrable sur $\displaystyle{I}$
_l'hypothèse de domination : $\displaystyle{\exists\left(\varphi_1;\ldots;\varphi_k\right)\in {\cal C}_{\text{par morceaux}}^0\left(I;\R^{+*}\right)^k \& \exists\left(K_1;\ldots;K_k\right)\in{\cal P}\left(I\right)^k}$, où $\displaystyle{\forall j\in \N\cap\left[1;k\right], \varphi_j}$ est intégrable sur $\displaystyle{K_j}$ et où $\displaystyle{\forall j\in \N\cap\left[1;k\right], K_j}$ est un segment, $\displaystyle{|\forall\left(j;t;x\right)\in\N\cap\left[0;k\right]×K_j×J,\left|\frac{\partial^j\left(f\right)}{\partial\left( x\right)^j}\left(t;x\right)\right|\leq\varphi_j\left(t\right)}$
Alors $\displaystyle{F}$ est $\displaystyle{{\cal C}^k}$ et $\displaystyle{\forall j\in \N\cap\left[0;k\right],F^{j\prime}:x\mapsto\underset{I}{\int}\left(\frac{\partial^j\left(f\right)}{\partial\left( x\right)^j}\left(t;x\right)\text{d}\left(t\right)\right)}$.
Ceci est le résultat du théorème de dérivation des intégrales à paramètre (version simple) appliqué par récurrence, mais, suite à une interroggation à mon prof de maths, j'ai appris qu'il n'était pas nécessaire de montrer que toutres les applications dérivées étaient intégrables en $\displaystye{t}$ (O.K. : ça découle directement de l'hypothèse de domination) et il suffirait que cette hypothèse ne s'applique qu'à la dernière dérivée ???
Si vous pouviez m'exposer vos remarques, des rectifications, et surtout me dire si ces hypothèses sont les plus faibles possibles pour pouvoir dériver sous l'intégrale à un niveau spé, s'il vous plaît, ça solidifierait bien mes acquis (si j'ose m'exprimer ainsi). Quelles sont, le cas échéant, les hypothèses minimales de ce théorème, dans le cadre du programme de phy spé ?
Merci beaucoup déjà d'avoir consacré votre temps à me lire, je vous remercierai pour vos réponses (-:

@mitiés,

Greensmile.

J+5

Si seulement tous nos soucis se résumaient à un calcul simple à effectuer...