Question sur le théorème de Cayley-Hamilton

John Mayall · April 2005

Bonjour,

Je suis sûr à 99chance sur 100 que je suis en train d'écrire une grosse bourde mais je n'arrive pas à la trouver :

Pourquoi ce on n'a pas automatiquent $det(\lambda I_n - A)=0$ si $\lambda = A$ ?

John Mayall · April 2005

Oups désolé, post posté trop tôt, trompé de bouton, je m'excuse donc pour la faute d'othographe et je dit "Merci d'avance".

John Mayall · April 2005

Euh ce post doit vous sembler inutile car j'ou oublié aussi de préciser ce qui me pose problème : si $\lambda=A$ alors $\lambda I_n - A=0$ (matrice de taille $n$ nulle) et donc le déterminant en question est nul... non ?

Je sens la grosse bourde utime...

bob1 · April 2005

$\lambda$ est un scalaire, pas une matrice

John Mayall0 · April 2005

Ok je me disait qu'il y avait un truc comme ça mais alors l'exemple d'ici me trouble : <a href=" http://cnx.rice.edu/content/m2119/latest/"> http://cnx.rice.edu/content/m2119/latest/</a>

bisam0 · April 2005

det(x.I-A) est une expression polynomiale P en x. Ce polynome P est appelé le polynome caractéristique de la matrice A (à un facteur près suivant les cours).

Le théorème de Cayley Hamilton affirme que si l'on calcule P(A), ce qui peut être fait car l'ensemble des matrices carrées forme une algèbre, on obtient forcément la matrice nulle.

Cela ne vient pas du tout directement du remplacement de x par A dans det(x.I-A), c'est bien plus compliqué.

Alain Debreil · April 2005

Euh ce post doit vous sembler inutile car j'ou oublié aussi de préciser ce qui me pose problème : si $\lambda=A$ alors $\lambda I_n - A=0$ (matrice de taille $n$ nulle) et donc le déterminant en question est nul... non ?

Je sens la grosse bourde utime...

Th0t · April 2005

Pour t'en convaincre écris le déterminant : det(x.I-A) sur un exemple ou de manière littérale avec des " $a_ij$ ". Imagine maintenant que tu remplace x par A cela ne veut tout simplement rien dire!