groupe orthogonal

debo · April 2005

Bonjour,

Quelqu'un peut-il me dire pourquoi les conditions $x \in O(n)
\setminus SO(n)$ et x est d'ordre 2 implique que x est une
symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel
$F=Ker(x-id)$ de {\bf codimension impaire} ?

Th0t · April 2005

si x^2=Id alors x est une symetrie par rapport a ker(x-id) parallement a ker(x+id) (normal).

apres l'hypothese x appartient à O(n) permet de montrer que ces deux espaces sont orthogonaux

Th0t · April 2005

pardon j'ai oublié la fin

x est bien sur diagonalisable de valeurs propres 1 et -1 comme x n'appartient pas à SO(n) et appartient à O(n) son determinant vaut -1 d'où la dimension

BunoI · April 2005

Bonjour debo.

Si $x$ est d'ordre $2$, alors il annule le polynôme $X^2 - 1$ qui est scindé et dont les zéros sont simples, donc l'automorphisme $x$ est diagonalisable et c'est la symétrie par rapport à son sous-espace propre pour la valeur propre $1$. De plus, le déterminant de cet automosphisme vaut $-1$ donc la dimension de l'orthogonal de ce sous-espace est impaire.

Bruno

debo · April 2005

Merci beaucoup Th0t et BunoI

Débo

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