Fourier

drolusque · April 2005

bonjour
Si tous les coeff de Fourier d une fonction sont positifs, cela implique t il que la fonction est positive?

Pitou · April 2005

Non !

drolusque · April 2005

Salut Pitou
Aurait tu un exemple?

Pitou · April 2005

Salut drolusque !

Par exemple la fonction $\cos$ a ses coefficients de Fourier positifs et pourtant elle change de signe (je ne sais pas si ça répond à ta question).

Philippe Malot · April 2005

Et s'ils sont tous strictement positifs ? (eheh)

Pitou · April 2005

Hé hé je l'attendais celle-là !

Dites moi si j'ai faut, mais il me semble que si $a_n=b_n=1/n^2$ et $a_0=\varepsilon > 0$, on peut choisir $\varepsilon$ pour que la fonction ait des valeurs négatives.

Une meilleure idéé : si $a_0$ est "petit", que $a_1=b_1$ est relativement grand et que $a_n$ et $b_n$ pour $n \geq 2$ sont suffisaments petits pour que la série converge et que la somme de la série soit strictement plus petite que $a_1$, alors à coup sûr la valeur de $f$ en $5 \pi / 4$ sera négative (par exemple).

Th0t · April 2005

Boujour,je crois que j'ai un contre exemple(sauf érreur de calcul).

Soit r tel que 0<r<1. En nous intéressant dans un premier temps à la série de terme général z^n où z= r*exp(i*x) (série géométrique) on trouve la valeur de la série de terme général r^n cos(nx) et r^n sin(nx) dont les valeurs respectives sont : (1-r*cos(x) )/(1-2r*cos(x)+r^2 ) et r*sin(x)/ (1-2r*cos(x)+r^2 )

En prenant maintenant la série de terme général (1/2^n cos(nx) + (sqrt(2) -1/2 )^n sin(nx) ) c’est à dire an =1/2^n et bn=(sqrt(2) -1/2 )^n ,on a quelle s’annule en -Pi/4 (on peut même avoir quelle est strictement négative en augmentant légèrement bn tout en le laissant strictement inférieur à 1).

Th0t · April 2005

Bonjour,je crois que j'ai un contre exemple(sauf erreur de calcul).

Soit r tel que 0<r<1. En nous intéressant dans un premier temps à la série de terme général z^n où z= r*exp(i*x) (série géométrique) on trouve la valeur de la série de terme général r^n cos(nx) et r^n sin(nx) dont les valeurs respectives sont : (1-r*cos(x) )/(1-2r*cos(x)+r^2 ) et r*sin(x)/ (1-2r*cos(x)+r^2 )

En prenant maintenant la série de terme général (1/2^n cos(nx) + (sqrt(2) -1/2 )^n sin(nx) ) c’est à dire an =1/2^n et bn=(sqrt(2) -1/2 )^n ,on a quelle s’annule en -Pi/4 (on peut même avoir quelle est strictement négative en augmentant légèrement bn tout en le laissant strictement inférieur à 1).

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