Analyse complexe:fonction holomorphe
dans Les-mathématiques
Bonjour,
question:
L'affirmation suivante est elle vraie? (justifier la réponse)
"Il existe au moins une fonction f:$\C$ -> $\C$, f holomorphe dans $\C$, telle que f(0)=1 et f(z) -> 0 quand |z|->+$\infty$ "
merci pour votre aide
question:
L'affirmation suivante est elle vraie? (justifier la réponse)
"Il existe au moins une fonction f:$\C$ -> $\C$, f holomorphe dans $\C$, telle que f(0)=1 et f(z) -> 0 quand |z|->+$\infty$ "
merci pour votre aide
Réponses
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Salut,
soit $f$ entière telle que $lim_{|z|\infty}f(z)=0$, démontrer que $f$ est bornée, en déduire que $f$ est nulle, conclure sur le problème de départ.
F.D. -
Non une telle fonction n' existe pas car grâce à la définition de la limite on a
$\exists A$ $\forall z $ tel que $|z| \geq A $ on a $|f(z)| \leq 1$ donc $\forall z \in \C$ on a $|f(z)| \leq max(1, sup_{|z| \leq A}(|f(z)|))$ ( ce dernier sup existe car f est continue donc bornée sur les compacts) donc f est bornée sur $\C$ et elle est entière donc $f$ est constante d' après Liouville. Si $f(0)=1$ alors $f$ serait donc constante égale à $1$ ce qui est absurde car elle tend vers 0 en $+\infty$ -
Bonjour,
question:
L'affirmation suivante est elle vraie? (justifier la réponse)
"Il existe au moins une fonction $f: \C \longrightarrow \C$, $f$ holomorphe dans $\C$, telle que $f(0)=1$ et $f(z) \longrightarrow 0$ quand $|z| \longrightarrow +\infty$"
merci pour votre aide -
$\lim\limits_{|z|\to \infty}f(z)=0$
-
(pour vianney c'était volontaire d'écrire $|z|\infty$ plutôt que $|z|\to\infty$)
F.D. -
$\lim\limits_{|z|\infty}f(z)=0$
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Bonjour François
Quelle est la distinction entre $\lim\limits_{|z|\infty}f(z)=0$ et $\lim\limits_{|z|\to\infty}f(z)=0$ ?
Alain -
Il n'y en a pas c'était juste de la fainéantise comme $n\infty$ plutôt que $n\to\infty$ avec les entiers,
dsl d'en avoir fait tout un plat,
F.D. -
En fait, la notation $n\infty$ existe par ailleurs (cycle arithmétique), mais aucune confusion à craindre ici...Je dis ça juste parce que je suis un grand malade :-)
Borde. -
Salut,
en même temps j'ai le droit d'être feignant sur ce coup-là parce que j'ai bientôt fini le document promis à Borde sur un autre topic et que j'ai encore 130 copies à finir ce WE...
mais, comme souvent, la fainéantise oblige à de telles contorsions qu'il vaut mieux y aller directement du départ, voilà une grande leçon de la vie :-)
cordialement,
F.D.
(PS: désolé pour les modérateurs mais en général je ne commets pas bcp d'erreur en LaTeX alors j'y regarde à deux fois quand un de mes messages a dû être modéré à cause du LaTeX histoire de ne pas refaire la même boulette) -
Prends quand même ton temps, FrançoisD, on n'est pas aux pièces...130 copies !!! Bon courage...
Borde.
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