fct holomorphe

Salut,

bonée sur?

un exemple immédiat de la forme $\frac{1}{z^{3/2}}$ m'incite à penser que la réponse est non si tu entends "bornée sur $\C$",

si $f$ est bornée sur $\C$, on doit pouvoir la prolonger en 0 et alors $f$ sera constante (th. de Liouville),

le problème est donc le suivant : si f est bornée, holomorphe sur un voisinage V de 0 (privé de 0), est-elle holomorphe sur V?

si la réponse est oui mon argument est valable,
sinon le problème reste entier,

Quelques instants de réflexion : $sin(\frac{1}{z})$ a-t-elle la moindre chance d'être holomorphe en 0?

bon courage,

F.D.

Considère le développement de Laurent de $f$ sur un disque centré en $0$ et épointé (privé de $\{0\}$): $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}z^{k}=f(z)$. Ton hypothèse entraîne nécessairement que tous les coefficients de la partie principale de ce développement sont nuls (i.e. $a_{k}=0$ pour $k

En revanche $f$ n''est en général jamais bornée sur tout le domaine où elle est définie: témoin $f(z)=e^{z}$ ou toute autre fonction entière (holomorphe sur $\C$) non constante.

Dans ce cas le problème est trivial, on prend effectivement $1/z^{2}$ (plutôt que $1/z^{3/2}$) qui a l'avantage d'être holomorphe sur le plan épointé et la réponse est non.
Merci Corentin.

Je voudrais pas être désagréable, mais je crois que tu as ouvert 3 ou 4 post, portant toujours sur des questions élémentaires, voire de cours.
Il faudrait peut être que tu le lises, je pense qu'il y a dedans tous les théorèmes (loin d'être faciles) pour répondre à tes questions en une ligne chacune.

Une bonne demi-douzaine je dirais plutôt, et je partage l'avis de Corentin. L'abus n'est pas loin, d'autant que jamais Pascale n'indique où elle bloque et ce qu'elle a fait. A bon entendeur...

Vianney