Les correspondances en mathématiques.
Je recherche des correspondances mathématiques "accessibles", ou assez peu connues, pour en choisir une et en faire l'objet de mon T.I.P.E..
Réponses
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Bonjour,
Il vient de paraitre aux éditions ?? la correspondance Lebesgue Borel. Il y a une centaine de lettres envoyées par Lebesgue à Borel. C'est tres instructif. -
... je veux dire par correspondance une connexion, un pont établi entre deux domaines des mathématiques apparemment distincts.
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bonjour
Je suis jeune béninois etudiant en première année des MP qui desirais correspondre avec un professeur de Math universitaire pouvant m'aider dans mes etudes,ou un elève comme moi de classe superieure ou non pour echanges d'iddées en math.
Merci....................André DJOI... -
Boh alors vous avez pas d'idées ... C'est que j'ai trouvé des exemples de correspondances sur google, mais elles sont toutes trop difficiles, et aussi trop connues ..
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Hem... Je ne sais pas si ça va te satisfaire, mais pourquoi ne pas chercher autour de la notion de "dualité" : il y a un point de vue "algébrique" et un point de vue "analytique" pour cette notion (comme en témoige par exemple la coexistence de la notion de dual algébrique et de celle de dual topologique)
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"Boh alors vous avez pas d'idées"
C'est pas très sérieux, vassia ! Tu poses une question délicate, contradictoire dans les termes (tu veux que ce soit simple à traiter - à ton niveau- mais pas trop connu !!) et 5 heures après tu te plains que les quelques uns qui zonent sur le site ne t'ont pas donné le sujet dont tu rèves !
Au fait, ton sujet, tu avais 5 heures pour le trouver ? -
5 heurEs, évidemment !
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Euh Gérard tu déformes ce que j'ai dit.
Ma question est peut-être délicate pour toi, parce que tu n'as pas d'idées à me proposer. Mais il est possible que d'autres en aient, et c'est pour cela que j'ai posté ce sujet.
Contradictoire ? Cela reste à démontrer ... Je n'ai jamais pensé ni écrit "facile à traiter à mon niveau". J'ai simplement dit "accessible", c'est-à-dire (pour moi) dont je puisse traiter une partie, car sinon cela n'entre plus dans le cadre du T.I.P.E..
Facile "et" pas connu ? Non ... montrez-moi où j'ai mis cela ! Je crois avoir dit "ou". Je veux dire, si possible, quelque chose qui n'est pas archi-connu comme la correspondance de Galois (qu'est-ce, au fait ?).
"De mes rêves" hmmmm c'est un peu fort.
C'est vrai que 5 heures c'est très court. Je sais c'est très con. Et alors ? Qu'est-ce que cela change ? Je ne connais pas la charte, mais je ne pense pas avoir commis de faute qui mérite une réponse aussi agressive.
Désolé d'avoir pollué le forum, mais il fallait que je me défende .. -
Je ne sais pas si je suis dans le sujet, mais la théorie des nombres (au sens large) a énormément profité des avancées dans d'autres disciplines pour obtenir des avancées significatives :
1. Théorie analytique des nombres :
Les recherches menées par Riemann et autres en analyse complexe (notamment sur les séries de Dirichlet) ont permis d'obtenir une première démonstration du TNP (avec terme d'erreur donné explicitement).
2. Théorie Algébrique des nombres :
La théorie de Galois intervient de façon très forte dans ce domaine, et permet (par exemple) une simplification des décompositions des idéaux premiers dans les corps de nombres galoisiens.
3. Mixage des deux :
Les équations fonctionnelles des fonctions $\zeta$ de Riemann et de Dedekind ont permis la résolution de problèmes divers et variés (zéros triviaux, symétrie, bande critique pour $\zeta$, formule du nombre de classes pour $\zeta_{\K}$ etc.).
Borde. -
C'est bon, Vassia, je vois que tu m'as compris !
Bon courage (et bonne chance pour choisir un sujet intéressant) -
les catégories !
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Oui Akela tu as raison, il est question de dualité dans l'intitulé du TIPE. Ca m'a fait pensé à chercher une relation entre deux domaines des maths, et donc une correspondance qui a déjà été étudiée, mais je trouve votre idée de dualité entre deux types différents de méthodes pas mal du tout (pas forcément méthodes algébriques/méthodes analytiques).
Par contre les catégories ... je ne vois pas où caser la dualité. -
tu peux par exemple parler de la correspondance entre l'etude des variétés algébriques et des ideaux premiers de l'anneau sous jacent a la variété .
par exemple pour la topologie Zariski , la notion de composante connexe est
remplacée par la notion de composante irreductible d'une variete algebrique
par exemple la courbe $\xy=0$ est la réunion de $\x=0$ et $\y=0$ ceux sont les composantes irreductibles de $\xy=0$. ..
pour plus d'info Hartshorne "algebraic geometry (chap 1 )"ou l'excellent Atiyah mac donald "introduction to commutative algebra "........... -
par exemple la courbe xy=0 est la réunion de x=0 et y=0 ceux sont les composantes irreductibles de . ..
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Connaissez-vous des cas où on a su interprété géométriquement avec succès des problèmes apparemment difficile ? Par exemple les nombres complexes ont un sens géométrique : à un complexe correspond un point du plan, à l'addition la translation, etc ... mais en plus évolué.
Ca entrerait dans le thème résolution\signification géométrique. -
De nombreuses correspondances en mathématiques peuvent être résumée dans la théorie des catégories. Pour reprendre l' exemple précédent on peut exprimer la correspondance entre les variétés algébriques et les k-algèbres en parlant exactement de foncteur ( ici contravariant ) .
Cette théorie très intéréssante permet de formaliser les nombreuses similitudes que l' on peut observer en maths -
Salut,
j'en ai une petite qui me fait tourner la tête (si tu arrives à caser ça dans un T.I.P.E. Vassia, je pleure! lol)
l'existence d'une inégalité de Sobolev logarithmique sur une variété (pour moi c'est un problème d'EDP, non?) est résolue en considérant le Mouvement Brownien sur cette variété (je crois qu'il faut qu'il soit transient) ce qui est un problème de probabilités,
on a beau savoir que les EDP et les Porcessus Stochastiques sont liés, il n'y a guère de spécialistes des deux en même temps!!!
désolé d'être aussi vague sur le sujet mais je ne suis pas un génie des inégalités artihmético-géométriques,
cordialement,
F.D. -
Porcessus toi même !
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Les variétés algébriques, la topologie de Zariski, ... je ne connais pas du tout.
FrançoisD, vous voulez parler d'une lien important entre probabilités et équations différentielles ? Là je comprends déjà mieux .. Il y aurait d'autres cas de ce genre ? -
Je veux parler d'autres exemples comme l'inégalité de Sobolev logarithmique sur une variété, pour que l'on puisse dire que la correspondance est assez profonde.
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Au sujet des correspondances de Galois, ça a beau être archi connu comme tu le dis, ça n'en reste pas moins un truc intéressant ( ça m'énerve d'ailleurs de désigner comme archi connu quelque chose seulement parce qu'on en connait l'existence, je suis sur qu'un jury serait content de voir un taupin capable de présenter ne serait ce que correctement la théorie de Galois...)
Pour répondre à ton "qu'est ce que c'est" sur les correspondances, c'est en gros l'idée fondatrice de Galois qui consiste à établir une bijection (mieux en fait, un isomorphisme ) entre automorphismes de corps laissant invariantes des parties et ces parties elles mêmes. Le lien avec les polynômes étant que le corps de base d'un polynôme k (par exemple Q, mais aussi Z/pZ...) peut s'agrandir en une extension où le polynôme est scindé.
(et la suite, c'est que les automorphismes linéaires sur le nouveau corps en tant que k-algèbre laissent l'ensemble des racines d'un polynôme stable, il s'injecte donc - attention, c'est pas trivial - dans les groupes de permutation.)
Heu, c'est tout frais, donc j'ai peut être marqué des grosses bourdes... -
lol c'est pas grave si y'a des bourdes, de toute façon c'est juste pour me présenter en gros ce que c'est.
Mais la théorie de Galois, il y a de fortes chances que d'autres taupins y pensent. Le sujet est néanmoins passionnant ...
Ca a un lien encore avec la théorie des catégories ? -
C'est mon écran ou le sujet que j'ai écrit est illisible?
Il y a une espèce d'imbroglio entre les lignes.
[Non c'est bien illisible !
Tu peux le renvoyer corrigé, je le remplacerai. Vianney] -
Bonjour,
Un exemple très facile à illustrer en géométrie projective : la transformation par polaire réciproque qui transforme une droite en un point et réciproquement.
Cette dualité fait par exemple correspondre les théorèmes de Pascal et de Brianchon. -
Voila une version un peu plus présentable, Vianney:
Au sujet des correspondances de Galois, ça a beau être archi connu comme tu le dis, ça n'en reste pas moins un truc intéressant ( ça m'énerve d'ailleurs de désigner comme archi connu quelque chose seulement parce qu'on en connait l'existence, je suis sur qu'un jury serait content de voir un taupin capable de présenter ne serait ce que correctement la théorie de Galois...)
Pour répondre à ton "qu'est ce que c'est" sur les correspondances, c'est en gros l'idée fondatrice de Galois qui consiste à établir une bijection (mieux en fait, un isomorphisme ) entre automorphismes de corps laissant invariantes des parties et ces parties elles mêmes. Le lien avec les polynômes étant que le corps de base d'un polynôme k (par exemple Q, mais aussi Z/pZ...) peut s'agrandir en une extension où le polynôme est scindé.
(et la suite, c'est que les automorphismes linéaires sur le nouveau corps en tant que k-algèbre laissent l'ensemble des racines d'un polynôme stable, il s'injecte donc - attention, c'est pas trivial - dans les groupes de permutation.)
Heu, c'est tout frais, donc j'ai peut être marqué des grosses bourdes... -
<!--latex-->Tu sembles croire que l'interprétation géométrique des complexes est une chose simple et évidente ... pourtant ça a pris quelques siècles. Rien que l'interpétation des nombres négatifs et de zéro a déjà posé de sérieux problèmes. Pour t'en convaincre, lis donc l'article <I>Négatif</I> (écrit par d'Alembert) de l'<I>Encyclopédie méthodique</I> du même D'Alembert.
<BR>
<BR>L'article <I>Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques</I> de Argand date de 1874.<BR> -
Oui oui je suis d'accord. Ceci est d'ailleurs valable pour de nombreux concepts que nous utilisons aujourd'hui.
Seulement, l'interprétation des nombres complexes, ça fait un peu court pour un T.I.P.E. ... ;-)
Est-ce qu'à notre époque, comme cela est arrivé à celle de d'Alembert, on commence à interpréter géométriquement des objets mathématiques de telle sorte que notre compréhension en soit améliorée ? -
La correspondance entre le mouvement brownien, l'integrale de Wiener et l'integrale de Feynman.
Tu peux trouver en expose dans le livre
Lecons de Mathematiques d'aujourd'hui.
Expose de Pierre Cartier.
C'est assez simple.
Mauricio. -
J'oubliais, je te dis ca parce que a la fois ca fait correspondre des choses a priori differentes et ca reponds a ta question sur des nouvelles interpretations d'objet mathematiques (ici l'integrale fonctionelle).
Mauricio -
Voilà une question à poser à Mandelbrot !
Complexes, fractales, chaos... -
En fait je songe depuis ce matin à la dualité modèle/structure. Plusieurs structures différentes peuvent être modèle d'une même théorie, et ça ça m'intéresse.
Avez-vous des conseils à me donner ? -
Bonjour,
puisque la théorie de Galois semble t'intéresser je crois que le point de vue de Grothendieck devrait convenir à la fois à ta question modèle/structure et au souci d'originalité.
L'idée de Grothendieck c'est que la théorie du groupe fondamental et la théorie de Galois sont en fait formellement identiques. Grosso-modo, tu as une correspondance
extension de corps <--> revetement
et par dualité (groupe G <--> G-ensembles) on obtient l'identification
groupe de Galois <--> groupe fondamental.
Tu peux consulter les cours suivants:
<http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf>
<http://swc.math.arizona.edu/notes/files/05MatsumotoNotes.pdf>
Amicalement,
YB -
Je crois que je commence à cerner le sujet que je vais faire ..
Merci beaucoup à vous tous pour vos nombreuses suggestions. -
Théorème de correspondance de Mikhalkin, ou comment compter des
courbes algébriques dans CP² (ou (C-{0})², c'est pareil) en comptant
des lignes brisées dans un triangle.
Voir par exemple (c'est un article de présentation de la théorie,
simple à lire: en anglais mais les
résultats ne sont pas démontrés et le matériel utilisé est minime --- tout
du moins pour la présentation):
<http://arxiv.org/pdf/math.AG/0209253>
C'est une correspondance géométrie des variétés algébriques réelles
- géométrie combinatoire, non ?
En espérant t'avoir aidé.
Toto -
<!--latex--><a href=" http://arxiv.org/pdf/math.AG/0209253"> http://arxiv.org/pdf/math.AG/0209253</a><BR>
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D'un autre coté, pour un TIPE, il ne faut pas absolument rechercher l'originalité. Il vaut mieux bien maitriser un sujet qui sera revenu une ou deux fois dans le jury, et qui s'inscrit bien dans le thème (ils font attention à cela), plutot que de sortir une synthèse de developpements recents (typiquement travailler sur des articles ou des bouquins inconnus du jury) au risque d'eveiller la suspicion de n'avoir pas travaillé de façon personnelle mais de n'avoir fait qu'une compilation de résultats. Et pour ce qui est des variétés, je sens bien des questions vaches sur un point qui n'est pas au programme de spé (notemment aux ENS, où au détour d'une question d'apparence banale tu sois amené à resoudre un véritable exercice au tableau, que tu n'avais pas prévu). Et au tétra concours, je pense sincèrement que les membres du jury ne savent pas ce qu'est une variété.
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Tiens, j'ai une idée toute conne pour un truc qui se démontre géométriquement : la formule de Machin. Si ça t'intéresse, ça donne $\pi$ comme somme de deux arctangentes, il me semble qu'il y a une preuve géométrique.
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Mais Zantac, cette formule se démontre assez simplement en utilisant une propriété de Artan, c'est du calcul.
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Bah oui je sais bien mais c'est plus élégant par la géométrie non ?
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Mouai, pour être dans le sujet il faut une analogie importante.
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Lol ok c'est sûr que là on en est loin.
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Ben, il faut pas pousser, j'ai du mal à imaginer qu'un jury du tétraconcours soit incapable de savoir ce qu'est une variété. (même si moi même je ne sais pas ce que c'est, il me semble que c'est une notion élémentaire de la géométrie différentielle un peu sérieuse non?)
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Il n'y a pas que des profs de maths qui t'examinent au tétraconcours !
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Mais je crois que la règle c'est de mettre un peu de tout (genre un physicien et un matheux, pour que chacun comprenne un domaine)
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Bonjour,
Cela m'étonne que tu ne trouves pas que le lien géométrie (pi) - analyse (calcul pur...) soit une correspondance importante. -
Non je trouve pas, mais ça entre dans le lien intégrale/aire d'une surface.
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Moi je trouve au contraire que la géométrie et l'analyse sont extrêmement liées, même si ça dépend de la géométrie et de l'analyse dont on parle.
Mais l'analyse "moderne" des espaces fonctionnels est extrêmement liée à la théorie des espaces vectoriels, qui ne peut pas se faire sans intuition géométrique. Ainsi, le théorème de projection de Riesz s'applique élégamment aux espaces des fonctions de carrés sommables (et aux séries de Fourier).
C'est un peu tordu, mais c'est une façon très jolie de faire de l'analyse. -
Un lien général entre l'analyse et la géométrie, là ça m'intéresse plus ! En plus c'est bien plus à ma portée je pense, donc je pourrais plus facilement mettre de la "valeur ajoutée" comme ils disent, par des représentations géométriques personnelles, des programmes de calcul numérique approché, etc ...
Il y a déjà le lien entre $\R$ et notre notion intuitive de droite.
Le lien intégrale/calcul de surface, et en plus il faut vérifier que les différentes notions possibles d'intégrale collent bien à notre intuition géométrique de l'aire d'une surface. Et aussi le calcul de volumes ... et la théorie de la pâte à modeler - vous connaissez po ?? ;-)
En plus certains exemples que vous avez donné peuvent illustrer la correspondance.
Ca reste quand même à développer .. -
Un type sur la pâte à modeler, voilà une bonne façon d'apparaître dans le rapport des oraux du tétraconcours !
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On peut rappeler que la (seule) référence bibliographique dans l'article éponyme est Carrega, "Théorie des corps..." qui bien évidemment relie géométrie et algèbre.
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