équation de Klein-gordon
dans Les-mathématiques
équation de Klein-Gordon :
(1) $\partial_{t}^{2}u-\Delta_{x}+u=0,t\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^{3}$
où $\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\mathbb{H}^{s}(\mathbb{R}^{3})$,
$s\in\mathbb{R}$, on note
$\parallel f\parallel_{s}=(\int_{\mathbb{R}^{3}}((1+\mid\xi\mid^{2})^{s}\mid(\hat{f}(\xi)\mid^{2}d\xi))^{\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\in C^{0}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))\cap C^{1}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
merci.
---
Pierro
(1) $\partial_{t}^{2}u-\Delta_{x}+u=0,t\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^{3}$
où $\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\mathbb{H}^{s}(\mathbb{R}^{3})$,
$s\in\mathbb{R}$, on note
$\parallel f\parallel_{s}=(\int_{\mathbb{R}^{3}}((1+\mid\xi\mid^{2})^{s}\mid(\hat{f}(\xi)\mid^{2}d\xi))^{\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\in C^{0}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))\cap C^{1}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
merci.
---
Pierro
Réponses
-
Euh, y'a comme un defaut .... ;-)
eric -
Salut,
Un défault de quoi ? -
Le message n'apparaissait pas en entier tout à l'heure. Maintenant ca va mieux.
-
<!--latex-->Utilise la theorie des Semi groupes et le thh de Hille-Yoshida<BR>
-
Salut Cauchy, connais pas tout ça! et je pense que je suis censé le faire avec mes connaissances de cours, qui sont, de l'EDP.
-
Je ne vois toujours pas le message en entier, c'est tronqué
après "... alors la quantité :"
a+
eric -
autant pour moi il manquait un bout de mon fichier, et je m\'en excuse, auprés de tout ceux qui se sont pris la tête sur un ennoncé tronqué
équation de Klein-Gordon :
(1) $\\partial_{t}^{2}u-\\Delta_{x}+u=0,t\\in\\mathbb{R},x\\in\\mathbb{R}^{3}$
où $\\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\\mathbb{H}^{s}(\\mathbb{R}^{3})$,
$s\\in\\mathbb{R}$, on note
$\\parallel f\\parallel_{s}=(\\int_{\\mathbb{R}^{3}}((1+\\mid\\xi\\mid^{2})^{s}\\mid(\\hat{f}(\\xi)\\mid^{2}d\\xi))^{\\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\\in C^{0}(\\mathbb{R}_{t};\\mathbb{H}^{t+s}(\\mathbb{R}_{x}^{3}))\\cap C^{1}(\\mathbb{R}_{t};\\mathbb{H}^{t+s}(\\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
$E_{s-1}(u,t)=\\parallel\\partial_{t}u(t)\\parallel_{s-1}^{2}+\\parallel u(t)\\parallel_{s}^{2}$
ne dépend pas de t
merci.
---
Pierro -
équation de Klein-Gordon :
(1) $\partial_{t}^{2}u-\Delta_{x}+u=0,t\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^{3}$
où $\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\mathbb{H}^{s}(\mathbb{R}^{3})$,
$s\in\mathbb{R}$, on note
$\parallel f\parallel_{s}=(\int_{\mathbb{R}^{3}}((1+\mid\xi\mid^{2})^{s}\mid(\hat{f}(\xi)\mid^{2}d\xi))^{\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\in C^{0}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))\cap C^{1}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
$E_{s-1}(u,t)=\parallel\partial_{t}u(t)\parallel_{s-1}^{2}+\parallel u(t)\parallel_{s}^{2}$
ne dépend pas de t
merci.
---
Pierro -
decidement j'ai du mal en ce moment....:)
-
Ok,
Quand tu derives par rapport a t, la derivée seconde de u par rapport
a t intervient dans le premier terme. Tu remplaces par $\Delta_x u-u$
dedans (notes que $\partial_t {\hat u} = {\hat{\partial u}}$). Or le laplacien te fait apparaitre un facteur $|\xi|^2$
dans la transformée de fourier qui compense l'exposant en
$s-1$ du premier terme et permet de realiser des compensations
avec le 2e.
Avec ces indications tu devrais pouvoir finir les calculs.
a+
eric -
merci eric, j'ai cependant suivi une autre piste depuis hier soir, j'ai pris le fourrier du tout, je l'ai identifier à une equa diff puis j'ai trouvé sa solution, et maintenant je démontre que ma fourier est continue de R3 dans L2.
Je vais regarder aussi ce que tu m'as dit c'est peut-être plus simple, cependant dans ce que tu m'a dit il n'y a pas d'hypothéses sur les ensembles dans lesquels évolues u, et sa fourier.
Merci eric a+ -
C'est normal car ce que tu veux montrer est de nature
purement algebrique. L'ensemble dans lequel
vie la fonction u ne sert qu'a justifier l'existence des integrales,
des dérivées et des interversions dérivées / integrales.
a+
eric -
Bon, la question semble un peu "triviale": la quantité que tu veux montrer qu'elle indépendante de t est tout simplement l'energie totale d'une solution de l'EDP, comme cette dernière ne comporte aucun terme dissipatif du genre $u_t$ alors elle est dite conservatrice (ie conserve l'energie), dont $E(t)=E(0)$ pour tout temps $t$.
Denis -
ok merci pour tout, et l'explication énergétique est peut-être trivial mais je n'y avais pas réfléchi.
-
Je crois que le probleme posé est justement de démontrer
que E(t) represente bien l'energie totale correspondant
a l'EDP, c'est a dire que l'expression proposée est bien la
charge associée au courant de Noether des translations.
Ca n'est trivial que si tu admets d'emblée l'expression du
tenseur energie-impulsion (c-a-d le courant de Noether)
dans le cas de Klein-Gordon.
a+
eric -
ok, mais pour ce qui est du courant de Noether je ne connais pas.
-
C'est bien pour ca que je préferais ne pas en parler pour te
donner des indications. L'equation de Klein-Gordon peut se déduire
d'un principe variationnel, c'est a dire qu'il existe un fonction (Lagrangien)
tel que si $S(u)=\int d^4x L(u,\partial_\mu u)$ alors $S(u)$ est
extremal si u verifie une certaine equation qui depend de L
(equations du mouvement), et qui dans notre cas est ton EDP.
Le lagrangien correspondant s'appelle donc
le lagrangien de Klein-Gordon. Si la fonction L ne depend pas
des coordonnées ce qui est le cas ici, alors Elie Noether a démontrée
qu'il existe un courant (=champs de vecteurs en gros) conservé,
c'est a dire que sa divergence (en 4 dimensions) est nulle.
Grace au theoreme de Stokes (ou plutot Ostrogradski mais
c'est un peu pareil), tu en deduis assez
facilement que l'integrale sur $R^3$ d'une des composantes
de ce courant est en effet constante au cours du temps, c'est l'energie
totale. L'energie totale est un cas particulier de "charge de
Noether" (integrale sur une hypersurface du courant). Car en
effet le theoreme de Noether s'applique aussi a d'autres
symmetries du lagrangien (ici la conservation de l'energie-impulsion
vient de la symmetrie par translation du lagrangien).
a+
eric
ps: ici on a $L = (\partial_t u)^2 - (\vec \nabla u)^2 -u^2 = \partial_\mu u \partial^\mu u -u^2$ -
J'ai oublié de te copier une ref du net qui introduit
au th de noether (il y en a surement des dizaines d'autres):
http://www.physics.orst.edu/~allenlw/Ph65456/Media/PDFs/QM655.17.Noether.pdf -
Aaargh, il fallait lire Emmy Noether et pas Elie Noether, la pauvre
doit se retourner dans sa tombe....
a+
eric -
Merci eric, concernant ton L c le L du théoréme de Lax-milgram, qui est une formulation variationnelle de l'EDP, on ait d'accord ?!
ensuite j'ai eut la correction rapide de mon exo et en fait ce que je proposais de faire en passant par une equa diff. c trop fin ici et pour cette question y en avait pas besoin, ta réponse suffisait. Par contre pour la question suivante (que je n'ai pas posté ici) fallait passer par là, bref c'est alors que je me suis aperçut que je ne me souvenais plus trés bien des solutions des equa diff. ça serait con à l'exam de ne pas pouvoir avancer dans les questions à cause d'une pauvre equa diff de 1r année c'est pourquoi une remise à niveau est necessaire, aurais-tu un lien qui résume briévement les solutions des différentes équa diff. afin de sans perdre trop de temps dessus, connaitre les solutions, et ne pas bloquer betement sur des choses que je suis censé savoir. -
En physique on va plus loin que Lax-Milgram, car L n'est
pas toujours quadratique.
Sur les EDP c'est tellement vaste que c'est difficile d'avoir
une ref complete, mais tu as par exemple
http://ejde.math.swt.edu/ (cliques sur 01 sous Monographs)
Sinon sur les equa diff ordinaires il y a deja un cours
sur ce site:
http://www.les-mathematiques.net/a/d/c/node1.php3
http://www.les-mathematiques.net/a/a/k/node1.php3
a+
eric -
Merci, pour tout.
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