équation de Klein-gordon
dans Les-mathématiques
équation de Klein-Gordon :
(1) $\partial_{t}^{2}u-\Delta_{x}+u=0,t\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^{3}$
où $\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\mathbb{H}^{s}(\mathbb{R}^{3})$,
$s\in\mathbb{R}$, on note
$\parallel f\parallel_{s}=(\int_{\mathbb{R}^{3}}((1+\mid\xi\mid^{2})^{s}\mid(\hat{f}(\xi)\mid^{2}d\xi))^{\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\in C^{0}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))\cap C^{1}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
merci.
---
Pierro
(1) $\partial_{t}^{2}u-\Delta_{x}+u=0,t\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^{3}$
où $\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\mathbb{H}^{s}(\mathbb{R}^{3})$,
$s\in\mathbb{R}$, on note
$\parallel f\parallel_{s}=(\int_{\mathbb{R}^{3}}((1+\mid\xi\mid^{2})^{s}\mid(\hat{f}(\xi)\mid^{2}d\xi))^{\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\in C^{0}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))\cap C^{1}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
merci.
---
Pierro
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Réponses
eric
Un défault de quoi ?
après "... alors la quantité :"
a+
eric
équation de Klein-Gordon :
(1) $\\partial_{t}^{2}u-\\Delta_{x}+u=0,t\\in\\mathbb{R},x\\in\\mathbb{R}^{3}$
où $\\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\\mathbb{H}^{s}(\\mathbb{R}^{3})$,
$s\\in\\mathbb{R}$, on note
$\\parallel f\\parallel_{s}=(\\int_{\\mathbb{R}^{3}}((1+\\mid\\xi\\mid^{2})^{s}\\mid(\\hat{f}(\\xi)\\mid^{2}d\\xi))^{\\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\\in C^{0}(\\mathbb{R}_{t};\\mathbb{H}^{t+s}(\\mathbb{R}_{x}^{3}))\\cap C^{1}(\\mathbb{R}_{t};\\mathbb{H}^{t+s}(\\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
$E_{s-1}(u,t)=\\parallel\\partial_{t}u(t)\\parallel_{s-1}^{2}+\\parallel u(t)\\parallel_{s}^{2}$
ne dépend pas de t
merci.
---
Pierro
(1) $\partial_{t}^{2}u-\Delta_{x}+u=0,t\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^{3}$
où $\Delta_{x}$ est le laplacien dans$\mathbb{R}^{3}$.Pour f $\mathbb{H}^{s}(\mathbb{R}^{3})$,
$s\in\mathbb{R}$, on note
$\parallel f\parallel_{s}=(\int_{\mathbb{R}^{3}}((1+\mid\xi\mid^{2})^{s}\mid(\hat{f}(\xi)\mid^{2}d\xi))^{\frac{1}{2}}$
Montrer que si $u\in C^{0}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))\cap C^{1}(\mathbb{R}_{t};\mathbb{H}^{t+s}(\mathbb{R}_{x}^{3}))$
est solution de (1), alors la quantité :
$E_{s-1}(u,t)=\parallel\partial_{t}u(t)\parallel_{s-1}^{2}+\parallel u(t)\parallel_{s}^{2}$
ne dépend pas de t
merci.
---
Pierro
Ok,
Quand tu derives par rapport a t, la derivée seconde de u par rapport
a t intervient dans le premier terme. Tu remplaces par $\Delta_x u-u$
dedans (notes que $\partial_t {\hat u} = {\hat{\partial u}}$). Or le laplacien te fait apparaitre un facteur $|\xi|^2$
dans la transformée de fourier qui compense l'exposant en
$s-1$ du premier terme et permet de realiser des compensations
avec le 2e.
Avec ces indications tu devrais pouvoir finir les calculs.
a+
eric
Je vais regarder aussi ce que tu m'as dit c'est peut-être plus simple, cependant dans ce que tu m'a dit il n'y a pas d'hypothéses sur les ensembles dans lesquels évolues u, et sa fourier.
Merci eric a+
purement algebrique. L'ensemble dans lequel
vie la fonction u ne sert qu'a justifier l'existence des integrales,
des dérivées et des interversions dérivées / integrales.
a+
eric
Denis
que E(t) represente bien l'energie totale correspondant
a l'EDP, c'est a dire que l'expression proposée est bien la
charge associée au courant de Noether des translations.
Ca n'est trivial que si tu admets d'emblée l'expression du
tenseur energie-impulsion (c-a-d le courant de Noether)
dans le cas de Klein-Gordon.
a+
eric
C'est bien pour ca que je préferais ne pas en parler pour te
donner des indications. L'equation de Klein-Gordon peut se déduire
d'un principe variationnel, c'est a dire qu'il existe un fonction (Lagrangien)
tel que si $S(u)=\int d^4x L(u,\partial_\mu u)$ alors $S(u)$ est
extremal si u verifie une certaine equation qui depend de L
(equations du mouvement), et qui dans notre cas est ton EDP.
Le lagrangien correspondant s'appelle donc
le lagrangien de Klein-Gordon. Si la fonction L ne depend pas
des coordonnées ce qui est le cas ici, alors Elie Noether a démontrée
qu'il existe un courant (=champs de vecteurs en gros) conservé,
c'est a dire que sa divergence (en 4 dimensions) est nulle.
Grace au theoreme de Stokes (ou plutot Ostrogradski mais
c'est un peu pareil), tu en deduis assez
facilement que l'integrale sur $R^3$ d'une des composantes
de ce courant est en effet constante au cours du temps, c'est l'energie
totale. L'energie totale est un cas particulier de "charge de
Noether" (integrale sur une hypersurface du courant). Car en
effet le theoreme de Noether s'applique aussi a d'autres
symmetries du lagrangien (ici la conservation de l'energie-impulsion
vient de la symmetrie par translation du lagrangien).
a+
eric
ps: ici on a $L = (\partial_t u)^2 - (\vec \nabla u)^2 -u^2 = \partial_\mu u \partial^\mu u -u^2$
au th de noether (il y en a surement des dizaines d'autres):
http://www.physics.orst.edu/~allenlw/Ph65456/Media/PDFs/QM655.17.Noether.pdf
doit se retourner dans sa tombe....
a+
eric
ensuite j'ai eut la correction rapide de mon exo et en fait ce que je proposais de faire en passant par une equa diff. c trop fin ici et pour cette question y en avait pas besoin, ta réponse suffisait. Par contre pour la question suivante (que je n'ai pas posté ici) fallait passer par là, bref c'est alors que je me suis aperçut que je ne me souvenais plus trés bien des solutions des equa diff. ça serait con à l'exam de ne pas pouvoir avancer dans les questions à cause d'une pauvre equa diff de 1r année c'est pourquoi une remise à niveau est necessaire, aurais-tu un lien qui résume briévement les solutions des différentes équa diff. afin de sans perdre trop de temps dessus, connaitre les solutions, et ne pas bloquer betement sur des choses que je suis censé savoir.
pas toujours quadratique.
Sur les EDP c'est tellement vaste que c'est difficile d'avoir
une ref complete, mais tu as par exemple
http://ejde.math.swt.edu/ (cliques sur 01 sous Monographs)
Sinon sur les equa diff ordinaires il y a deja un cours
sur ce site:
http://www.les-mathematiques.net/a/d/c/node1.php3
http://www.les-mathematiques.net/a/a/k/node1.php3
a+
eric