Lemme de Scheffé (intégration)

Bonjour.

Je reprends ici une démonstration du cours en ligne d'agrégation jusqu'au point ou je bloque :

Lemme [Lemme de Scheffé] Supposons que $ f_n$ soit une suite de fonctions $ {\cal L}^1$ de $ (S,\mu)$ dans $ \mathbb{R}$, et supposons que pour presque tout $ x$ $ f_n(x) \to f(x)$ quand $ n \to +\infty$. Alors

$\displaystyle \int \vert f_n\vert.d\mu \to \int \vert f\vert.d\mu$

si et seulement si

$\displaystyle \int \vert f_n-f\vert.d\mu \to 0$

Démonstration: La partie "si" est triviale; voyons maintenant la partie "et seulement si".
On montre d'abord le résultat pour des fonctions positives.
On suppose donc que $ \int f_n(x).d\mu(x) \to \int f(x).d\mu(x)$. Notons $ g_n=f_n-f$, et $ g_n^+$ et $ g_n^-$ les parties positives et négatives de $ g_n$. Alors:
$ \bullet $ $ g_n^+(x)\to 0$ et $ \int g_n^-(x) \to 0$ presque partout
$ \bullet $ $ g_n^- \leq f$, donc par le théorème de convergence dominée $ \int g_n^-(x).d\mu(x) \to 0$.

Pour appliquer ce dernier argument, ne manque-t-il pas une condition sur le le fait que $ f$ est intégrable ?

Ici un contre exemple : $f_n = \chi_{[-n,n]}$ converge vers $f = 1$. On a $\displaystyle \int \vert f_n\vert.d\mu \to \int \vert f\vert.d\mu$ mais pas $\displaystyle \int \vert f_n-f\vert.d\mu \to 0$.

Qu'en pensez vous, mes amis les matheux ?