Contradiction en geo diff
Bonjour,
j'ai un petit probleme metaphysique.
J'ai une surface au moins $C^2$ definie comme support de $S(u,v)$.
Je calcule les derivees premieres et leur produit scalaire est non nul.
Je calcule la matrice de la seconde forme fondamentale qui est alors diagonale.
Ce dernier calcul me dit bien que les lignes de courbure et les directions principales sont obtenus avec soit $u$ constant soit $v$ constant.
Le premier calcul me dit alors que les directions principales ne sont pas orthogonales!!!!!!
Si quelqu'un a une idee, je serais enchante.
Merci d'avance.
Lionel
j'ai un petit probleme metaphysique.
J'ai une surface au moins $C^2$ definie comme support de $S(u,v)$.
Je calcule les derivees premieres et leur produit scalaire est non nul.
Je calcule la matrice de la seconde forme fondamentale qui est alors diagonale.
Ce dernier calcul me dit bien que les lignes de courbure et les directions principales sont obtenus avec soit $u$ constant soit $v$ constant.
Le premier calcul me dit alors que les directions principales ne sont pas orthogonales!!!!!!
Si quelqu'un a une idee, je serais enchante.
Merci d'avance.
Lionel
Réponses
-
Je ne vois pas la contradiction, u et v se baladent sur des
directions orthogonales de $R^2$ mais pour autant les vecteurs
tangents a u constant ou a v constant ne sont pas orthogonaux.
Pourquoi les lignes de courbure devraient elles etre orthogonales?
A+
eric -
J'avais pose la question ouverte pour ne pas influencer la reponse!!!! (sourire)
En fait, dans mon memoire de these, j'ai ecrit que les lignes de courbure de ma surface sont obtenus avec soit $u$ soit $v$ constant puisque la matrice de la seconde forme fondamentale est diagonale.
Un rapporteur me dit que c'est faux car le produit scalaire des vecteurs derives est non nul.
Merci.
Lionel -
-
Merci.
Lionel -
Sauf erreur de ma part tu as bien un contradiction.
Les lignes de courbures ce sont les valeurs propres d'une forme quadratique donc
a ma connaissance les directions principales d'une forme quadratique sont orthogonales.
Dans ces coordonnees on a une situation tres semblable a celle du plan euclidien. La seule difference c'est la numerotation des lignes verticales et horizontales qui ne peut pas se faire de maniere "proportionelle". Enfin bref tu as surement fait une erreur (ou bien je dois revoir mon algebre lineaire de premiere annee).
Mauricio -
En fait, si tu prends un ellipsoide, les lignes de courbure sont obtenues avec $u$ et $v$ constant dans l\'expression :
$$S(u,v)=(X_0 cos(u) cos(v),Y_0 cos(u) sin(v), Z_0 sin(u))$$
et l\'on a :
$$\\frac{\\partial S}{\\partial u} = (-X_0 sin(u) cos(v), -Y_0 sin(u) sin(v), Z_0 cos(u) )$$
et
$$\\frac{\\partial S}{\\partial v} = (-X_0 cos(u) sin(v), Y_0 cos(u) cos(v), 0)$$
et le produit scalaire vaut :
$$(X_0^2 - Y_0 ^2) cos(u) sin(u) cos(v) sin (v) )$$
qui est bien non nul en general. -
En fait, si tu prends un ellipsoide, les lignes de courbure sont obtenues avec $u$ et $v$ constant dans l\'expression :
$$S(u,v)=(X_0 cos(u) cos(v),Y_0 cos(u) sin(v), Z_0 sin(u))$$
et l\'on a :
$$\\frac{\\partial S}{\\partial u} (u,v)= (-X_0 sin(u) cos(v), -Y_0 sin(u) sin(v), Z_0 cos(u) )$$
et
$$\\frac{\\partial S}{\\partial v} (u,v)= (-X_0 cos(u) sin(v), Y_0 cos(u) cos(v), 0)$$
et le produit scalaire vaut :
$$(X_0^2 - Y_0 ^2) cos(u) sin(u) cos(v) sin (v) $$
qui est bien non nul en general. -
En fait, si tu prends un ellipsoide, les lignes de courbure sont obtenues avec $u$ et $v$ constant dans l'expression : $$S(u,v)=(X_0 \cos(u) \cos(v),Y_0 \cos(u) \sin(v), Z_0 \sin(u))$$ et l'on a : $$\frac{\partial S}{\partial u} = (-X_0 \sin(u) \cos(v), -Y_0 \sin(u) \sin(v), Z_0 \cos(u) )$$ et $$\frac{\partial S}{\partial v} = (-X_0 \cos(u) \sin(v), Y_0 \cos(u) \cos(v), 0)$$ et le produit scalaire vaut : $$(X_0^2 - Y_0^2) \cos(u) \sin(u) \cos(v) \sin (v)$$ qui est bien non nul en general.
-
En fait, si tu prends un ellipsoide, les lignes de courbure sont obtenues avec $u$ et $v$ constant dans l\'expression :
$$S(u,v)=(X_0 cos(u) cos(v),Y_0 cos(u) sin(v), Z_0 sin(u))$$
et l\'on a :
$$\\frac{\\partial S}{\\partial u} (u,v)= (-X_0 sin(u) cos(v), -Y_0 sin(u) sin(v), Z_0 cos(u) )$$
et
$$\\frac{\\partial S}{\\partial v} (u,v)= (-X_0 cos(u) sin(v), Y_0 cos(u) cos(v), 0) )$$
et le produit scalaire vaut :
$$(X_0^2 - Y_0 ^2) cos(u) sin(u) cos(v) sin (v) $$
qui est bien non nul en general. -
Pour l'ellipsoide on a le thm de Dupin il existe deux faisceaux de quadriques orthogonales
qui se coupent suivant les lignes de courbure. Donc je ne pense pas que ton calcul soit juste (tout ce que je dis ce sont des vagues souvenirs). J'evite les calculs comme celui que tu as fait. mais si tu as un doute prends un graphe tu seras fixe
z=2x^2+y^2+t r(x,y)
ou r est un polynome de degre 3 et t un petit d'ordre 1 (t^2=0). Je prefere ce genre de
calcul plus "classique"
Maintenant je me rappelle un peux mieux par exemple le thm de Darboux sur les ombilics
et ce que je t'ai dis est vrai presque surement.
Mauricio -
Au temps pour moi,
les vecteurs sont bien orthogonaux, mais pas pour le produit scalaire usuelle mais pour celui induit sur le plan tangent par la premiere forme fondamentale.
Donc, il n'y a pas de contradiction!!!!!! -
Je joins un exemple concernant l'ellipsoide
-
Rebonjour,
des fois, je suis d'accord avec moi, des fois je ne suis plus d'accord avec moi, je dois m'integrer de plus en plus et devenir normand!!!!!
En recreusant la question des lignes de courbure, a priori, les vecteurs engendrant les directions principales et le vecteur normal au plan tangent doivent former un triedre orthonormal (pour la structure euclidienne de R3).
Dans Lelong-Ferrand ..., un theoreme dit qu'un condition necessaire et suffisante pour que les derivees partielles engendrent les directions principales est que l'on ait (F=0) et (M=0) c'est a dire que les matrices des deux formes fondamentales sont diagonales. La grande question est donc la suivante, que ce passe-t-il lorsque la matrice de la seconde forme fondamentale l'est et pas celle de la premiere? On ne peut donc pas trouver de base orthonormale pour la premiere forme et orthogoanl pour la seconde. Alors que justement, je pensais que c'est une caracteristique des directions principales.
Cela voudrait alors dire qu'il n'y a pas des lignes de courbure en tout point d'une surface!!!
La suite a mon prochain changent d'avis, quoique la, j'en ai plus trop!!
Lionel -
Je crois que tu dois comprendre que tes problemes sont des problemes d'algebre lineaire qui n'ont rien a voir avec les
surfaces.
Les vecteurs propres d'une matrice symmetrique sont toujours orthogonaux. Tu ne peux pas avoir la matrice II diagonale et pas la matrice I.
Ceci dit je ne pense pas que Lelong ferrand soit d'une grande aide pour un geometre.
Si tu veux apprendre un peu ces choses la, lis par exemple Do Carmo Differential Geometry of curves and surfaces
ca remettra peut etre de l'ordre dans tes idees.
Par exemple ton mail d'avant est aussi faux. La premiere forme fondamentale comme tu l'appelle c'est la restriction du produit scalaire a la surface, ce que tu ecris sur la nullite etc. c'est impossible: si deux vecteurs d'un plan P de R^3
sont ortogonaux dans P ils sont aussi orthogonaux dans R^3.
Mauricio -
Bien que ne comprenant quasiment rien à la géométrie différentielle, je pense devoir tempérer quelque peu l'ardeur de mauricio, ou du moins solliciter des précisions de sa part.
Si l'on se donne une matrice symétrique $M \in \mathcal M_n(\R)$, ses sous-espaces propres sont orthogonaux relativement à la forme canonique de $\R^n$.
Maintenant, si on fait de la géométrie dans un espace euclidien $E$ de dimension~$n$ et que l'on travaille avec un repère qui, pour des raisons géométriques, a été choisi oblique, et que, relativement à ce repère un opérateur linéaire ait une matrice symétrique, on pourra tortiller comme on veut l'affaire, les sous-espaces propres de l'opérateur ne seront pas orthogonaux pour la forme de l'espace ambiant $E$.
Par contre effectivement, je rejoins mauricio sur la première forme, je croyais naïvement que cette première forme était la restriction du produit scalaire de l'espace ambiant mais à quoi ? Il me semblait que l'on raisonnait dans l'espace tangent, faire du produit scalaire sur une surface me paraît scabreux pour la bilinéarité. Mais comme je l'ai déjà écrit moult fois, la théorie des surfaces et moi...
Bruno -
Ecoute, ton repere initial definit un produit scalaire. Pour ce produit scalaire, ton repere est orthogonal (!). Ta forme symmetrique a ces direction propres othogonales pour ce produit scalaire la. Bien sur tu m'ajoute un produit scalaire qui n'a rien a voir avec mon probleme...
Restreindre la metrique a la surface c'est par definition la restriendre au plan tangent.
Mauricio. -
Bien bien, donc nous sommes d'accord (me semble-t-il) le problème de Lionel est d'élucider de quel produit scalaire on parle. Je m'aperçois au passage que j'ai dit une sottise : on ne travaille pas avec un espace ambiant en géométrie différentielle : on n'est pas dans les question d'immersions et autres plongements. Oui ou non ?
(tu vois mon niveau de connaissances)
Bruno -
La deuxieme forme n'est definie que pour les plongements. La premiere forme c'est la donne d'une forme bilineaire
symmetrique sur l'espace tangent. Par exemple en plongeant la surface et en prenant la restriction de la metrique.
Ce que je trouve interessant ce n'est pas l'aspect geometrique mais plutot la donne de R^2 d'un champ de forme quadratique. Pour chaque forme quadratique on a les direction propres et donc une dynamique dans le plan. C'est un
sujet tres peu etudie bien que sujet a de nombreuse application (en geophysique par exemple).
\Mauricio -
Merci Mauricio
Bruno -
Je veux bien, et d'ailleurs, je pensais bien que le fait que la matrice de la seconde forme fondamentale soit diagonale impliquait que la matrice de la premiere forme fondamentale l'etait. Mais sur l'exemple de l'ellipsoide (pdf mis plus haut), ca ne marche pas.
Si on parle de plan tangent à la surface, la surface est bien plongee dans $R^3$.
Je suis d'accord que la premiere forme fondamentale $\psi_1$ induit un produit scalaire sur le plan tangent.
Tu as donc deux bases ;
- celle orthonormee canonique de ton espace euclidien $R^3$ dans laquelle on definit le produit scalaire ambiant de $R^3$ : $ $.
- celle constitue de deux vecteurs propres $(V_1 , V_2)$ pour ta premiere forme fondamentale et de la normale $N$ au plan.
Et tu as bien $\psi_1 (V_1,V_2)=0$. Les vecteurs $V_1$ et $V_2$ sont bien orthogonaux pour $\psi_1$.
Maintenant, qu'en est_il de $$?
Justement, dans mes souvenirs sur les formes quadriques, il me semble bien que lorsque l'on a deux formes quadriques, il existe une base orthonormale pour l'une et orthogonale pour l'autre. -
Ca y est, je viens de comprendre (et me convaincre) l'histoire des vecteurs propres orthogonaux des matrices symetriques dans un base!!
J'aurai deja avance. -
Je viens de trouver une parametrisation selon les lignes de courbure d'un ellipsoide :
http://www.mathcurve.com/surfaces/ellipsoid/ellipsoid.shtml
Je viens de faire les calculs, et la, les deux matrices des formes sont diagonales!!!!
Ca ne resoud pas le precedent probleme :
une matrice diagonale et l'autre non!!! -
Salut
Lionel
Une simple question (peut-être stupide) :
Es-tu certain de tes coefficients L et N de la deuxième forme fondamentale ?
Ils paraissent bien simples en comparaison de ceux de la première forme.
jean-émile -
En fait,
il faut diviser tous les coefficients de la seconde forme fondamentale par la norme du vecteur normal, mais ca ne change pas le fait que la matrice de la seconde forme fondamentale est diagonale.
Lionel -
Une autre question :
Directions principales ?
Lignes de courbure ?
Est-ce la même chose ?
jean-émile -
Les lignes de courbure sont engendrées par les vecteurs principaux. Ces deux vecteurs engendrent aussi les directions principales.
-
J'ai calculé les deux vecteurs principaux au point que tu indiques (u = v = pi/4) (vecteurs propres)
Comment montrer que ces directions principales sont orthogonales ?
J'obtiens les deux vecteurs suivants : -
Ca murit tout doucement, et en fait (je re-cite Lelong-Ferrant), les matrice des deux secondes formes fondamentales doivent etre diagonale.
Pour la premiere, $F=0$ implique que le produit scalaire des vecteurs $\frac{\partial S}{\partial u}$ et $\frac{\partial S}{\partial v} $ doit etre nul.
Pour la seconde, on doit avoir $M=0$ c'est a dire
$\frac{\partial^2 S}{\partial v\partial u} $ doit etre orthogonal au vecteur normal.
A priori, ces deux conditions sont independantes l'une de l'autre, d'ou le changement de parametrisation en racine de fractions rationnelles pour l'ellipsoide.
En tout cas, mon erreur a ete de ne considerer que la seconde forme fondamentale en disant que si sa matrice est diagonale, celle de la premiere forme l'est aussi. Dans ce cas particulier, quelle est alors la signification geometrique?
Finalement, pour repondre a ta question, le produit scalaire etant non nul, les directions données par ces vecteurs ne sont pas principales. -
Salut Lionel
Je fais remonter ton message.
En relisant, j'ai l'impression (peut-être fausse) qu'il y a une ambiguité dans ton calcul des courbures principales.
Je crois savoir qu'on les calcule de la façon suivante :
Soit A la matrice de la première forme fondamentale, B la matrice de la deuxième forme.
Alors les courbures principales sont les valeurs propres de la matrice A^(-1).B (non nécessairement symétrique) (Le point désigne un produit de matrices)
Me trompé-je ?
jean-émile -
Je recommence
Salut Lionel
Je fais remonter ton message.
En relisant, j'ai l'impression (peut-être fausse) qu'il y a une ambiguité dans ton calcul des courbures principales.
Je crois savoir qu'on les calcule de la façon suivante :
Soit A la matrice de la première forme fondamentale, B la matrice de la deuxième forme.
Alors les courbures principales sont les valeurs propres de la matrice A^(-1).B (non nécessairement symétrique) (Le point désigne un produit de matrices)
Me trompé-je ?
jean-émile -
En fait, les courbures sont les valeurs propres de la seconde forme fondamentale et les directions principales sont les vecteurs propres de la seconde forme fondamentale (avec la condition que ces vecteurs soient aussi des vecteurs propres de la premiere forme fondamentale).
Comme il existe un theoreme qui dit qu'il existe une base orthonormee pour la premiere forme fondamentale et orthogonale pour la seconde forme, je n'avais pas regarde les conditions sur la premiere forme.
D'ailleurs, je vais regarder les conditions d'application du theoreme car le cas ou le seconde forme fondamentale est diagonale et pas la premiere, ca me trouble.
La moralite, en fait, en fonction de la parametrisation choisie, on peut faire apparaitre ou non les vecteurs des directions principales. -
<!--latex-->Jái aussi posé la question à M@ath en Ligne.
<BR>
<BR>Voir :
<BR>
<BR><BR>lienhttp://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthread.html?SESSID=8d9d0c39dc8622ecf5e80b9d13f47d6b&id=14606
<BR>
<BR>jean-émile<BR><BR><BR> -
<!--latex-->Je recommence.
<BR>
<BR>J'ai pourtant coché.
<BR>
<BR>J'ai aussi posé la question à M@th en Ligne.
<BR>
<BR>Voir :
<BR>
<BR>
<BR>://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthread.html?SESSID=8d9d0c39dc8622ecf5e80b9d13f47d6b&id=14606
<BR>
<BR>jean-émile<BR> -
<!--latex-->J'ai aussi posé la question à M@th en Ligne.
<BR>
<BR>Voir :
<BR>
<BR><a href=" //www.forum.math.ulg.ac.be/viewthread.html?SESSID=8d9d0c39dc8622ecf5e80b9d13f47d6b&id=14606"> //www.forum.math.ulg.ac.be/viewthread.html?SESSID=8d9d0c39dc8622ecf5e80b9d13f47d6b&id=14606</a>
<BR>
<BR>jean-émile<BR>
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