suites de matrices niveau SPE

Bonjour,
je suis bloqué sur un problème de mathématiques dans lequel on me demande de montrer que la suite des matrices ($U^n$) appartient à un espace vectoriel.
Quelle est la méthode à employer ?

D\'avance merci,
Edmond

Réponses

  • Qu'est ce que U ?
    Quel espace vectoriel ?
    JL
  • ATTENTION, les symboles mathématiques doivent être encadrés du signe $ Exemple:$\R$
    \in \not\in \leq \geq
    \sigma \oplus \Rightarrow \Leftarrow
    \Leftrightarrow \longrightarrow \not\subset \subset
    \sim \partial \emptyset \infty
    \varepsilon \alpha \Gamma \eta
    \theta \pm \pi \forall
    \neq x^n x_i \exists
    \N \Q \R \C

    \int_{x}^{y} fonction \sum_{i=0}^{n} \frac{x}{y}



    Les commandes qui suivent ne doivent pas être encadrées du signe $
    texte {\bf texte gras} texte { \it texte italique} texte \underline{ souligné} Un bon site! \lien{http://www.adresse.fr}

  • Je crois que tu veux dire appartient a un
    espace vectoriel de dimension finie...

    C'est une application de Cayley hamilton, si $P$ est le polynome
    caracteristique de $U$ alors $P(U) =0$, et si m est plus grand ou egal au
    degré de $P$ alors $X^m = A(x)P(x)+R(x)$ par division
    euclidienne, donc $U^m=R(U)$, et comme le degré de $R$ est strictement
    inférieur au degré de P, les vecteurs $U^k$ pour k allant de 0 a
    $deg(P)-1$ forment une famille generatrice de l'espace vectoriel engendré
    par tous les $U^k$ (k entier quelconque).

    a+

    eric
  • Bah, la suite des Un appartient tout simplement à Vect (Un) l'espace vectoriel engendré par les éléments de la suite. Comme tu es en dimension finie tu en déduis que cet espace est de dimension finie, donc tu as un entier p tel que U0 ... Up soit génératrice. Et donc un polynome annulateur de U. A partir de là tu en déduis plein de choses ...
  • Oui effectivement, pas besoin de Cayley hamilton pour dire
    qu'on est en dimension finie bien sur, ca permet juste de dire
    que la dimension est inférieure ou égale au degré de P.
    Suis-je bete.

    a+

    eric
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