Petit théorème de Fermat
Bonsoir,
Pour ceux d'entre vous qui ont des TS Spé Maths, je voudrais savoir ce que vous faites pour le petit théorème de Fermat.
Le démontrez-vous ? Si oui par quelle méthode ? La démonstration vous a-t-elle semblé bien comprise par les élèves ?
Pour ma part, depuis que la formule du binôme a disparu des programmes, j'utilise la méthode consistant à calculer de deux façons le produit $a \times 2a \times ... \times (p-1)a \pmod p$.
Je le fais sous la forme d'un exercice avec beaucoup de questions intermédiaires (environ 8 ou 10 questions).
J'avoue ne pas être satisfait du résultat : plus de la moitié des élèves n'arrivent pas à suivre jusqu'au bout la démonstration. Le niveau de mon lycée n'est pas très bon et j'en viens presque à m'interroger sur l'utilité de faire cette démonstration l'année prochaine. Avant d'en arriver à cette extrémité, j'aimerais connaître vos pratiques sur cette démonstration.
Cordialement,
Pour ceux d'entre vous qui ont des TS Spé Maths, je voudrais savoir ce que vous faites pour le petit théorème de Fermat.
Le démontrez-vous ? Si oui par quelle méthode ? La démonstration vous a-t-elle semblé bien comprise par les élèves ?
Pour ma part, depuis que la formule du binôme a disparu des programmes, j'utilise la méthode consistant à calculer de deux façons le produit $a \times 2a \times ... \times (p-1)a \pmod p$.
Je le fais sous la forme d'un exercice avec beaucoup de questions intermédiaires (environ 8 ou 10 questions).
J'avoue ne pas être satisfait du résultat : plus de la moitié des élèves n'arrivent pas à suivre jusqu'au bout la démonstration. Le niveau de mon lycée n'est pas très bon et j'en viens presque à m'interroger sur l'utilité de faire cette démonstration l'année prochaine. Avant d'en arriver à cette extrémité, j'aimerais connaître vos pratiques sur cette démonstration.
Cordialement,
Réponses
-
Dans le nouveau programme, le petit théorème de Fermat a été relégué au rang d'exercice plus ou moins vu (plutôt moins que plus, d'ailleurs).
Si le niveau de ta classe est moyen, le mieux est sans doute de l'admettre.
Pour info, j'ai {\it toujours} privilégié une démonstration arithmétique (celle que tu indiques, essentiellement), je n'apprécie que très moyennement la récurrence via la formule du binôme de Newton.
Le plus important, c'est que les élèves sachent l'utiliser à bon escient, ce qui est déjà en soi un petit exploit avec les TS actuelles. -
Juan écrivait:
> Je le fais sous la forme d'un exercice avec
> beaucoup de questions intermédiaires (environ 8 ou
> 10 questions).
Pourquoi ne pas le faire avec peu de questions , peux tu lister l'énoncé qu'on le réduise, le compactifie ?
cordialement -
re,
je n'ai pas vu ça depuis deux ans, mais à vue d'oeil, je dirai
si gcd(a,p)=1, ton produit vaut $(p-1)!$ ($x \rightarrow ax$ est injective) et en simplifiant $a^{p-1}=1$ (modulo p)
la difficulté pédagogique doit être ailleurs, peut être ils ne savent pas ce qu'est une application injective, tu dois pouvoir admettre qu'une injection de [|1;n|] dans [|1;n|] est une bijection. -
Effectivement, ils ne savent pas ce qu'est une application injective et je ne peux pas les en blamer car ce n'est pas au programme. Pour moi, la difficulté pédagogique est précisément dans la démonstration de cette injectivité (que l'on démontre sans utiliser le mot injective).
-
oui, je vois le problème , d'autant que la définition logique d'injective est
$$x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$$ et sa définition utile en est la contraposée
$$f(x_1) = f(x_2) \rightarrow x_1 = x_2$$
est-ce que tu peux lister les questions , qu'on réfléchisse si on peut raccourcir l'énoncé ou le découper en deux exercices dont un contiendrait les lemmes ? -
Suggestion d'étapes. On utilise le lemme de Gauss (si $m\mid ab$ et $m\wedge a=1$ alors $m\mid b$):
soit $p$ un nombre premier.
1) $p$ divise $\binom{p}{k} =\frac{p!}{(p-k)!k!}$ pour $k$ compris entre $1$ et $p-1$.
2) On en déduit à l'aide de la formule du binôme, que $(x+y)^p=x^p+y^p \mod p$ pour tous entiers $x$, $y$.
3) Comme $0^p=0$, le point 2) et une récurrence entraînent que $\forall n\in \N$, $n^p=n \mod p$ .
4) Comme $p$ premier ne divise pas $n$ il est sans facteur commun avec ce dernier et comme $p\mid n^p-n=n(n^{p-1}-1)$ on en déduit que $p\mid n^{p-1}-1$ via le lemme de Gauss.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Tiens et si on remettait les groupes en terminale?B-)-
[small]ça sent le troll[/small]Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Foys a écrit:Tiens et si on remettait les groupes en terminale?B-)-
Les groupes figurent à peine au programme de Terminale de 1971 et celui de 2013 aurait en outre réduit 56% de son contenu.:S
Rem: Le programme qui s'appliquait lors de mon passage en TC était celui de la réforme de 1983 et avait les groupes en héritage... -
Soit $a$ inversible modulo $p$.
1) Soient $x$ et $y$ deux entiers. Montrer que $x\equiv y\,[p]$ si et seulement si le reste de la division Euclidienne de $x$ par $p$ est égal au reste de la division Euclidienne de $y$ par $p$.
Soit $f\colon \{1,2,\ldots,p-1\}\to \{1,2,\ldots,p-1\}$ l'application qui à $x$ associe le reste de la division Euclidienne de $ax$ par $p$.
2) Montrer que $f$ est bien à valeurs dans $\{1,2,\ldots,p-1\}$.
3) Montrer que les éléments $f(1),f(2),\ldots,f(p-1)$ sont deux à deux distincts.
4) En déduire que chaque entier appartenant $\{1,2,\ldots,p-1\}$ apparaît exactement une fois dans la
liste $f(1),f(2),\ldots,f(p-1)$.
5) En considérant le produit $f(1)\times f(2)\times\cdots\times f(p-1)$, montrer que
$$(p-1)!\equiv (p-1)!\times a^{p-1}\,[p].$$
6) Conclure.
N.B. Cette preuve suppose connu le lemme de Gauss. -
Il me semble qu'on est très très loin du niveau d'une terminale même d'il y a vingt ans.
Avant d'envisager de présenter ce genre de preuve, il faudrait s'assurer que les élèves savent faire la preuve attribuée à Gauss enfant de
$1+2+\dots n=\frac{n(n+1)}2$. -
concernant l'énoncé de JLT , un élève qui a ce DM à faire, qui a la possibilité d'être aidé sur un phorum, peut s'en sortir,ie,comprendre avec peine ce qui est demandé (avec de l'aide) puis rédiger.
Le souci , c'est la question (1) avec l'astuce
$x \equiv y [p]$ et $0 \leq x <p , 0 \leq y < p \Rightarrow x=y$
qui est évident si on vous le dit,sinon impossible à trouver.
l'hypothèse a inversible modulo p peut être remplacée par gcd(a,p)=1. -
En fait, les seules parties de la question 1) qui sont utilisées plus loin sont :
a) $x$ est congru à son reste modulo $p$.
b) "Si $x$ et $y$ ont même reste modulo $p$ alors $x$ est congru à $y$ modulo $p$".
a) $x=pq+r$ entraîne $p\mid pq=x-r$ donc $x\equiv r\,[p]$.
b) Conséquence triviale de a). -
La présentation de la même preuve dans un bouquin de TS :
1) Soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier naturel non multiple de $p$.
On considère l'ensemble des multiples de $a$ suivants:
$A=\{a;2a;3a;...;(p-1)a\}$
1) Montrer qu'aucun élément de $A$ n'a un reste nul dans la division euclidienne par $p$.
2) Montrer que deux éléments distincts de $A$ ont des restes distincts dans la division euclidienne par $p$
3) En déduire que les restes dans la division euclidienne par $p$ des éléments de $A$ sont, à l'ordre près, $1,2,...,(p-1)$
4) Soit $N$ le produit des éléments de $A$
a) Montrer que $N=(p-1)!a^{p-1}$
b) De la question 3) déduire que $N\equiv (p-1)!\mod{p}$
c) En déduire que $(p-1)!(a^{p-1}-1)\equiv 0 \mod{p}$, puis que $a^{p-1}-1\equiv 0\mod{p}$ -
Une démonstration en plusieurs phases du petit théorème de Fermat utilise la preuve par l'absurde et aboutit à une contradiction.(tu)
-
Rien de nouveau c'est la même preuve.
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Enfin, si voyons, nous avons bien différentes preuves faisant usage à leur tour : de l'absurde, de la récurrence, des diviseurs et des coefficients binomiaux, du lemme d'Euclide, du lemme de Gauss, de la congruence sur les entiers et de l'arithmétique modulaire.:)
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Juan:
Le bouquin en question est math'x , le volume enseignement de spécialité (TS), éditeur Didier.
J'ai un autre livre de spé de TS, dès que je le retrouve je compare les démonstrations.
-
$p$ est un nombre premier et $a$ est un entier naturel non divisible par $p$.
$C$ est l'ensemble des entiers $\{1;2;...;p-1\}$.
1) Pour $k\in C$, notons $r_k$, le reste de la division euclidienne de $ka$ par $p$.
Par définition, les restes $r_k$ sont éléments de $C$.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que l'ensemble des restes $r_k$ est exactement l'ensemble $C$.
Pour cela,montrons que les restes sont tous non nuls et distincts 2 à 2.
a) Utilisez un raisonnement par l'absurde pour démontrer que: pour tout $k \in C$, $r_k \neq 0$.
b) Démontrez que si $k$ et $k'$ sont deux éléments de $C$, $k\neq k' \Leftrightarrow r_k\neq r_{k'}$
2) Nous avons donc les congruences suivantes, modulo $p$:
$a\equiv r_1;2a\equiv r_2;3a\equiv r_3;...;(p-1)a\equiv r_{p-1}$.
Justifiez la congruence:
$a^{p-1}(p-1)!\equiv (p-1)! \mod{p}$
Déduisez-en $a^{p-1}\equiv 1 \mod{p}$
3) Utilisez ce résultat pour prouver que:
Si $p$ est premier, pour tout entier naturel $a$, $a^p\equiv a \mod{p}$
C'est la démonstration qu'on trouve dans le transmath TS (programme 2012). -
re,
quel a été le raisonnement de Pierre de Fermat ? connaissait il le raisonnement par récurrence à cette époque (il y a quatre cents ans) -
A ma connaissance, le raisonnement par récurrence a été systématisé par Blaise Pascal dans son "Traité du triangle arithmétique" (qui est ce que tout le monde appelle aujourd'hui le triangle de Pascal). Il semble que le mathématicien sicilien Francesco Maurolyco (ou Maurolico, ou autres graphies) ait donné pour la première fois un exemple de ce raisonnement, mais c'est Pascal qui lui a donné son veritable essor. Fermat a imaginé ce qu'il appelait "sa méthode de descente", qu'on a dénommée curieusement par la suite "descente infinie", alors que justement elle ne l'est pas, infinie.
Pierre Fermat n'était pas un mathématicien professionnel, et cette profession n'existait pas en tant que telle à son époque. Il n'a laissé aucun traité, et toute son oeuvre mathématique consiste en des lettres échangées avec d'autres amateurs et érudits de son époque. Ces lettres contiennent souvent des défis, et il ne donne généralement pas ses démonstrations.
Les oeuvres de Fermat ont été publiées de 1891 à 1912 par Paul Tannery et Charles Henry, un vrai monument en quatre forts volumes, sur quoi j'ai travaillé naguère en bibliothèque. Je regrette que Gabay ait reculé devant la tâche de leur réédition. On peut les consulter en ligne sur Gallica, mais ce n'est pas pareil :
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62145354
Je conseille à tout amateur de mathématiques de se frotter au moins une fois dans sa vie aux oeuvres des grands classiques, sans intermédiaire.
A ma connaissance, l'énoncé de Fermat de son dit "petit théorème" se trouve dans une lettre à Frenicle de 1640, qu'on peut lire ici :
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6213616t/f233.image
Comme vous voyez, cet énoncé est fort éloigné de sa forme actuelle, et bien sûr, sans aucune démonstration.
En guise d'introducteur à la prose fermatienne, je conseille Jean Itard, mathématicien érudit (1902-1979), auteur de nombreux ouvrages et articles d'histoire des mathématiques, et en particlulier si vous le retrouvez, son petit "Que-Sais-Je ?" : "Arithmétique et Théorie des Nombres" (n° 1093, 1963), qui donne de longs extraits du mathématicien occitan, et notamment de sa lettre à Carcavi de 1659, qui contient pour une fois des indications de méthode.
Il y a aussi un tès beau livre d'André Weil, "Number Theory, An approach throuhgh history, from Hammurapi to Legendre", Birkhaüser 1984, où l'auteur se plaît à reconstituer ce qu'auraient pu être les méthodes des mathématiciens du passé, ce qui est un exemple sans pareil de dialogue entre génies par-delà les siècles. Le dit "petit théorème de Fermat" est discuté en page 55 et suivantes. Malheureusement, cet ouvrage est en anglais -(...) . Enfin, en contre-partie, on peut se procurer cet ouvrage (et les autres du même auteur dans la même langue) en ligne facilement sans bourse délier ...
Ce sont quelques indications d'un amateur des mathématiques et de leur histoire, qui regrette que les historiens des mathématiques professionnels ne fréquentent pas plus ce forum.
Bonne journée.
RC
08/01/2014 -
tout le monde appelle aujourd'hui le triangle de Pascal
Non, pas tout le monde, loin de là :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Yang_Hui -
Personne n'ayant vécu à l'époque, on ne peut que se fier aux correspondances.Raymond Cordier a écrit:son dit "petit théorème" se trouve dans une lettre à Frenicle de 1640
Fermat n'a rien prouvé et les 1ères démonstrations viennent d'Euler et Leibniz.
100 façons de résoudre le petit théorème de Fermat coexistent d'après l'ENS.
Une manière d'arriver à bout est liée aux projecteurs dans l'anneau de Burnside... -
@ JLT
Oui, c'est un joli dessin exotique, je vais le mettre dans mon séjour, avec idéogrammees et tout.
A part ça, le raisonnement ? Quelle postérité dans l'histoire des mathématiques ?
A vrai dire, en écrivant cela, j'attendais plutôt des réactions côté indien. J'ai lu un article indien qui parlait du triangle de Pascal-trait-d'union-Quelquechosian, malheureusement je l'ai perdu, et je voudrais le retrouver, pour mon musée des conneries. Nos amoureux de Big Other vont sans doute m'y aider.
Allez, on rigole bien, bonne journée.
RC -
Le dessin montre que Pascal avait 400 de retard sur les Chinois. Quant au raisonnement, je ne sais pas s'il figure quelque part ou non, mais Fermat non plus ne donnait pas beaucoup de démonstrations.
-
@ JLT
Chez moi on dit : "il fait l'âne pour avoir du son".
Ce dessin ne démontre rien, c'est une "monstration" d'un dessin joliment exotique pour ceux qui aiment ça.
Il est grotesque et choquant d'affirmer que Blaise Pascal, un génie de l'humanité, avait 400 ans de retard !
Comme quoi l'idéologie "Big-Other" peut corrompre les meilleurs esprits, quand on cesse de raisonner et qu'on s'adapte au conformisme ambiant ...
Lisez donc le "traité du triangle arithmétique". L'apport de Pascal, ce n'est pas la contemplation d'un dessin, c'est le raisonnement sur ces nombres, conçu comme discours théorique démonstratif et général, dans la lignée de la mathématique spéculative européenne, depuis les Grecs. Et c'est cette mathématique qui s'est naturellement et légitimement imposée dans le monde, y compris dans la Chine d'aujourd'hui.
On a honte de rappeler de telles banalités. Mais l'époque est ce qu'elle est ...
Alors, on ne me trouve pas le "triangle de Pascal-Quelquechosian" ? Je n'ai pas tant d'occasions de rigoler ...
RC -
C'est Pascal qui "exotique" pour la plus grande partie de l'humanité.
-
Pingala évoque le meruprastāra dans son Chandaḥśāstra; et aux étages des tours d'Ivoire :"From Cave Paintings to the Internet Chronological and Thematical Studies on the History of Information and Media."(tu)
-
En voiture, Simone ? : la biographie d'A.Weil ici...
-
Heu ? Mon message qui répond à Raymond a disparu ?
[J'ai en effet caché un certain nombre de messages sans rapport avec le sujet de la discussion : le petit théorème de Fermat. AD]Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
[Pendant que j'y suis, autant effacer aussi le passage du premier message de RC qui a créé la polémique... -- JLT]
Il faut aussi effacer le message de ev, qui ne traite pas du petit théorème de Fermat, sans quoi je vais remettre celui que j'avais rédigé pour lui répondre : pas deux poids deux mesures !
Ainsi bien sûr que le présent message, pour la cohérence du fil.
RC -
Il existe une jolie preuve du petit théorème de Fermat qui consiste à dénombrer les colliers de $p$ perles formés avec $a$ couleurs de perles différentes.
Il y a deux types de colliers: les colliers "unis" (formés de perles de la même couleur) et les colliers non "unis" (contenant au moins deux perles de couleurs différentes)
Un collier "déroulé" correspond à une $p$-liste. (Par "déroulé", j'entends couper le fil du collier en un certain endroit).
Chacun des colliers unis peut être déroulé d'une seule façon (où que je coupe, le fil de perles obtenu sera le même car toutes les perles sont de même couleur). Il y a donc $a$ colliers déroulés "unis".
Chacun des colliers non "unis" peut être déroulé de $p$ façons différentes (permutation circulaire... C'est la que la primalité de $p$ intervient). A chaque collier non "uni" correspond donc $p$ déroulement possibles.
Il y a $a^p - a$ colliers déroulés possibles des colliers non "unis". On peut donc partitionner cet ensemble des déroulements non "unis" de sorte que chaque classe corresponde à un collier enroulé non uni, et on a donc un certain nombre $k$ de classes chacune contenant $p$ colliers déroulés. Donc $a^p-a=kp$.
Pour visualiser tout ça:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat's_little_theorem#Necklaces
-
(permutation circulaire... C'est la que la primalité de $ p$ intervient
Passage sans doute difficile pour des lycéens.
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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