Présentation de la notion de limite
Bonjour
Je suis enseignant en lycée. Si je me conforme au programme, j'aime, quand je sens les élèves prêts, donner une notion plus exacte de la notion de limite.
J'utilise la fonction f(x)= sin(1/x)
Je leur demande de représenter sur papier millimétré avec deux axes se croisant en O, au centre de la feuille, (avec la même échelle maximale sur l'axe x'0x et sur l'axe y'0y, pour que les échelles ayant de -1 à 1), une dizaine de points de la courbe de cette fonction, d’abscisse x entre -1 et 1.
Je demande alors à un élève de me donner arbitrairement une "bande" horizontale, axée sur l'axe x'Ox et je demande ensuite à la classe de me trouver une bande verticale telle que pour tous les x contenus dans la bande verticale et sur l'axe x'0x, ont ait tous leurs points images M(x,f(x)) contenus dans la bande horizontale arbitraire.
On ne se contente pas d'une preuve graphique, on essaye de démonter cette appartenance.
On recommence ensuite avec trois à cinq élèves. afin de donner une impression d'arbitraire.
On en conclut que pour toute bande horizontale dont l'axe passe par le point d'ordonnée y=0 sur l'axe des y, on peut trouver une bande verticale dont l'axe passe par le point d’abscisse x=0 sur l'axe des x, tels que pour tous ces x, on ait M(x,f(x)) dans la bande horizontale ou, ce qui revient au même, N(0,f(x)) dans la partie de l'axe y'0y interceptée par cette bande.
Puis je donne la définition directement avec a et b, deux réels quelconques
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a
si et seulement si
Pour toute bande verticale avec un axe médian passant par le point d'ordonnée b, sur l'axe y'Oy , on peut trouver une bande verticale avec un axe médian passant par le point A d’abscisse x= A de l'axe x'0x, tels que tous les points de l'axe x'Ox ayant leur abscisse x dans la bande verticale soient tels que tous leurs points images M(x,f(x)) soient dans la bande verticale
ou que les points d'ordonnées f(x) sur l'axe y'0y soient dans la bande verticale.
[size=x-small][On écrit abscisse.
AD][/size]
Je suis enseignant en lycée. Si je me conforme au programme, j'aime, quand je sens les élèves prêts, donner une notion plus exacte de la notion de limite.
J'utilise la fonction f(x)= sin(1/x)
Je leur demande de représenter sur papier millimétré avec deux axes se croisant en O, au centre de la feuille, (avec la même échelle maximale sur l'axe x'0x et sur l'axe y'0y, pour que les échelles ayant de -1 à 1), une dizaine de points de la courbe de cette fonction, d’abscisse x entre -1 et 1.
Je demande alors à un élève de me donner arbitrairement une "bande" horizontale, axée sur l'axe x'Ox et je demande ensuite à la classe de me trouver une bande verticale telle que pour tous les x contenus dans la bande verticale et sur l'axe x'0x, ont ait tous leurs points images M(x,f(x)) contenus dans la bande horizontale arbitraire.
On ne se contente pas d'une preuve graphique, on essaye de démonter cette appartenance.
On recommence ensuite avec trois à cinq élèves. afin de donner une impression d'arbitraire.
On en conclut que pour toute bande horizontale dont l'axe passe par le point d'ordonnée y=0 sur l'axe des y, on peut trouver une bande verticale dont l'axe passe par le point d’abscisse x=0 sur l'axe des x, tels que pour tous ces x, on ait M(x,f(x)) dans la bande horizontale ou, ce qui revient au même, N(0,f(x)) dans la partie de l'axe y'0y interceptée par cette bande.
Puis je donne la définition directement avec a et b, deux réels quelconques
On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a
si et seulement si
Pour toute bande verticale avec un axe médian passant par le point d'ordonnée b, sur l'axe y'Oy , on peut trouver une bande verticale avec un axe médian passant par le point A d’abscisse x= A de l'axe x'0x, tels que tous les points de l'axe x'Ox ayant leur abscisse x dans la bande verticale soient tels que tous leurs points images M(x,f(x)) soient dans la bande verticale
ou que les points d'ordonnées f(x) sur l'axe y'0y soient dans la bande verticale.
[size=x-small][On écrit abscisse.
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Réponses
Pour présenter cela sans rentrer tout de suite dans l'interdit du programme (la notion précise de limite), n'est-il pas plus simple de présenter les choses ainsi : on suppose que f(t) mesure la température en fonction du temps. Si on s'impose une précision sur la température (10^-p par exemple) montrer qu'il est toujours possible de trouver t0 tel qu'à partir de t0 la valeur de f(t) soit la valeur limite à la précision voulue. On pourra présenter cela concrètement ainsi : combien de temps doit durer l'expérience pour que la précision soit ainsi ?
d'accord avec deufeufeu (salut à toi! je ne te croisais plus :-) )
Puisque l'on parle programme, le théorème "l'image d'une suite convergente par une fonction continue converge vers l'image de la limite" n'étant plus au programme, on ne peut plus démontrer que si $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\ell$ alors $f(\ell)=\ell$ (si $f$ est continue en $\ell$ etc.) ?
Amicalement,
F.D.
[La case LaTeX.