Je joins une photo.
On observe une coquille (un $\alpha$ au lieu d’un $a$) et un abus de langage avec « il faut trouver » puis « la fonction doit donc être bijective ».
La seule « nécessité » à être bijectif tient du fait de pouvoir écrire $\phi^{-1}(x)$.
En mettant « il suffit » à la place de « il faut », c’est déjà plus correct mathématiquement.
Ainsi, comme les fonctions sont $C^1$, il suffit de parler de stricte monotonie.
Mais pourquoi est-ce un sujet pour le « généralisé » et pas « sur le segment » ?
Quant au sujet de la composition, j’essaye de réfléchir et à voir que ce n’est pas un problème dans ce cas précis du changement de variable (généralisé ou non).
En fait le problème est qu'il peut se passer des "gags" puisqu'on passe à la limite. Par exemple si on se retrouve avec des bornes de la forme $\phi(a)$ et $\phi(b)$ avec le changement de variable $\phi : t \mapsto t^2$, ça se passe bien sur le compact $[a,b]$ car on retrouve un compact $[a^2,b^2]$ (ou $[b^2,a^2]$) mais en passant aux limites $a \to - \infty$ et $b \to +\infty$, on voit bien qu'il y a un problème car on se retrouve avec "$]+\infty,+\infty[\:=\emptyset$.
L'hypothèse de stricte monotonie est une condition suffisante pour éviter ce genre de problème. Mais ce n'est en aucun cas nécessaire.
Réponses
https://uel.unisciel.fr/mathematiques/integration/integration_ch03/co/apprendre_ch3_06.html
Je joins une photo.
On observe une coquille (un $\alpha$ au lieu d’un $a$) et un abus de langage avec « il faut trouver » puis « la fonction doit donc être bijective ».
La seule « nécessité » à être bijectif tient du fait de pouvoir écrire $\phi^{-1}(x)$.
En mettant « il suffit » à la place de « il faut », c’est déjà plus correct mathématiquement.
Ainsi, comme les fonctions sont $C^1$, il suffit de parler de stricte monotonie.
Mais pourquoi est-ce un sujet pour le « généralisé » et pas « sur le segment » ?
Quant au sujet de la composition, j’essaye de réfléchir et à voir que ce n’est pas un problème dans ce cas précis du changement de variable (généralisé ou non).
L'hypothèse de stricte monotonie est une condition suffisante pour éviter ce genre de problème. Mais ce n'est en aucun cas nécessaire.