Changement de variable - rédaction
Bonjour à tous,
bien que j'écrive dans la partie Analyse du forum, il s'agit davantage d'une question d'enseignement.
Je me suis récemment rendu compte que la rédaction pour le théorème du changement de variable (pour une intégrale portant sur une variable) était très différente d'un collègue à l'autre.
Pour ma part, j'avais l'habitude d'effectuer les changements de variable de manière très formelle (sans vérifier les hypothèses de régularité).
En regardant sur internet, je trouve d'autre rédaction.
Par exemple, si on souhaite poser $u=\sqrt{t}$ dans l'intégrale $\displaystyle{I=\int_1^2 \dfrac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\textrm{d}t}$.
1) La fonction $u:t\mapsto \sqrt{t}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[1,2]$ et elle est strictement croissante de $[1,2]$ sur $[1,\sqrt{2}]$.
2) On a $\textrm{d} u = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\textrm{d}t$, donc $\textrm{d} t = 2u\textrm{d} u$.
3) On termine le calcul.
Cette rédaction parait plus complète que se limiter à faire le calcul, mais :
- Le point 1 n'est pas suffisant : je pense qu'il faudrait aussi préciser que la dérivée ne s'annule pas.
- Pour le point 2, la manipulation des symboles $\textrm d x$ et $\textrm d t$ de cette manière est très pédagogique, mais n'a fondamentalement aucun sens à ce niveau (bien que je l'utilise aussi).
Quelle est votre avis sur ce sujet ?
Où faudrait-il placer le curseur pour la rigueur sur ce sujet ?
Merci pour vos retours !
bien que j'écrive dans la partie Analyse du forum, il s'agit davantage d'une question d'enseignement.
Je me suis récemment rendu compte que la rédaction pour le théorème du changement de variable (pour une intégrale portant sur une variable) était très différente d'un collègue à l'autre.
Pour ma part, j'avais l'habitude d'effectuer les changements de variable de manière très formelle (sans vérifier les hypothèses de régularité).
En regardant sur internet, je trouve d'autre rédaction.
Par exemple, si on souhaite poser $u=\sqrt{t}$ dans l'intégrale $\displaystyle{I=\int_1^2 \dfrac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\textrm{d}t}$.
1) La fonction $u:t\mapsto \sqrt{t}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[1,2]$ et elle est strictement croissante de $[1,2]$ sur $[1,\sqrt{2}]$.
2) On a $\textrm{d} u = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\textrm{d}t$, donc $\textrm{d} t = 2u\textrm{d} u$.
3) On termine le calcul.
Cette rédaction parait plus complète que se limiter à faire le calcul, mais :
- Le point 1 n'est pas suffisant : je pense qu'il faudrait aussi préciser que la dérivée ne s'annule pas.
- Pour le point 2, la manipulation des symboles $\textrm d x$ et $\textrm d t$ de cette manière est très pédagogique, mais n'a fondamentalement aucun sens à ce niveau (bien que je l'utilise aussi).
Quelle est votre avis sur ce sujet ?
Où faudrait-il placer le curseur pour la rigueur sur ce sujet ?
Merci pour vos retours !
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Réponses
Quand je fais un changement de variable "au brouillon" : je pose $u = \varphi(t)$, je détermine $t = \varphi^{-1}(u)$, je calcule $\dfrac{dt}{du} = \varphi^{-1 \prime} (u)$, ensuite je "multiplie par $du$" pour exprimer $dt$ en fonction de $du$, et je dis que si $t$ varie de $a$ à $b$, alors $u=\varphi(t)$ varie de $\varphi(a)$ à $\varphi(b)$, et j'écris au propre :
$\displaystyle \int_a^bf(t)dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f \big(\varphi^{-1}(u)\big)\varphi^{-1 \prime} (u)du$.
Je fais ça parce que "je sais que ça marche" dès que je connais $\varphi$. Mais ça, c'est parce que j'ai appris suffisamment de maths pour me faire confiance en sachant que c'est vrai que ça marche. Quand j'ai appris à faire un changement de variable, au début, je ne faisais pas comme ça du tout. Je pense que toute la subtilité est là.
Un élève/étudiant qui découvre le concept, doit pouvoir comprendre le concept, et la preuve du théorème de changement de variable, et doit pouvoir l'appliquer sans se dire : je ne pige rien à ce que je fais, mais apparemment c'est juste, alors faisons comme ça quand même. Ma "multiplication par $du$" est une façon grossière de manipuler des formes différentielles, ce que j'écris au brouillon est correct dans l'absolu mais mal justifié, j'ai juste de la chance que ça marche quand même. Si le public visé ne maitrise pas ces choses-là, il ne faut pas les leur montrer ni les inciter à s'en servir. Il faut réussir à rédiger une preuve du théorème de changement de variable qui aboutit à ma formule ci-dessus de manière compréhensible par le public visé. De cette façon-là, les gens se diront qu'ils savent pourquoi le théorème marche puisqu'ils auront compris la preuve, et ils vérifieront des hypothèses en lesquelles ils ont confiance : je détermine $\varphi$, je regarde si elle vérifie ce qu'il faut, et si c'est le cas alors je peux balancer la formule. Là, c'est clair dans leur tête.
Chaque cours a son théorème dont les hypothèses sont plus ou moins générales par rapport aux autres.
La rédaction optimale est celle qui vérifie explicitement les hypothèses du théorème appliqué.
Quand je dis « vérifier les hypothèses », on peut soit démontrer que tout répond aux hypothèses, soit juste le dire en prenant le risque de passer à côté d’une situation non triviale et ne pas s’apercevoir que justement il y a quand même un truc à démontrer (continuité, bijectivité ou tout autre propriété suffisante à l’application du théorème).
Je dis que plusieurs théorèmes existent et qu’il faut savoir appliquer celui qui est autorisé à appliquer.
En général il est dans « le cours ».
Trouver quel est « le meilleur » dans ce fil, c’est faire du hors sujet je pense.
Par contre, en citer un dans son intégralité, faute d’en avoir un sous la main, pourquoi pas.
> Quelle est votre avis sur ce sujet ?
> Où faudrait-il placer le curseur pour la rigueur sur ce sujet ?
Ca dépend de ton public.
Personnellement, pour ton intégrale, je signalerais que
$u\mapsto u^2$ est de classe $C^1$ sur $[1,\sqrt 2]$ à valeurs dans $[1,2]$
$t\mapsto \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}$ est continue sur $[1,2]$
$1=1^2$ et $2=\sqrt 2^2$.
Ainsi, $\displaystyle \int_1^2 \frac{\ln t}{\sqrt t}dt = \int_1^{\sqrt 2} \frac{\ln(u^2)}{u} 2udu
= \ldots$
J’étais tenté de simplement rajouter l’hypothèse « la dérivée ne s’annule pas » à la rédaction du message initial, mais j’ai trouvé des exemples où cette rédaction pourrait poser un problème pour faire le changement de variable.
Je vais encore y réfléchir, mais il semblerait qu’exprimer l’ancienne variable en fonction de la nouvelle permette une rédaction plus simple.
@Foys : il me semble, de mémoire, que la bijectivité est déjà nécessaire pour les intégrales généralisées. Désolé si je me trompe.
J’utilisais « théorie » dans le sens galvaudé courant.
En gros, je voulais dire que l’objet du fil n’est pas « quelle est le meilleur théorème », mais plutôt « quelles sont les exigences ».
Il existe plusieurs théorèmes (je me trompe ?).
Pour moi, une bonne rédaction est une rédaction qui établit que l’on peut appliquer le théorème du cours.
La bonne est qu'on est dans la situation la plus simple: celle de la dimension 1 sur un segment, dans laquelle c'est le théorème le plus simple qui s'applique et où aucune hypothèse sur la fonction réalisant le changement de variable n'est requise à part le fait qu'elle est $\mathcal C^1$ voire simplement dérivable si on fait de l'intégration a la Henstock-Kurzweil. Mais on parle de $t\mapsto \sqrt t$ sur un intervalle où elle est $\mathcal C^1$ donc tout va bien.
Je viens de trouver ça :
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~merker/Enseignement/Integration/changement-variables.pdf
Voici un extrait : (image jointe)
Est-ce "le plus simple" dont tu parles ?
Si dans le programme on parle de celui-là, alors le candidat, s'il veut l'appliquer, doit vérifier ses hypothèses propres.
Une autre méthode reviendrait au candidat d'appliquer un autre théorème mais il devrait selon moi le démontrer s'il souhaite procéder ainsi.
S'il est évident depuis le début qu'il n'y en a vraiment qu'un seul (dans ce cadre : dimension 1, segment), alors je suis bien hors sujet.
Dans tout ce qui suit, $I$ est un intervalle de $\R$, $a$ et $b$ désignent des nombres réels tels que $a<b$ et $\varphi: [a,b] \to \R$ est une fonction de classe $\mathcal C^1$ à valeurs dans $I$ et quelconque.
1°) soit $f\in \mathcal C^0(I,\R)$. Alors $$\int_a^b \varphi' \times (f \circ \varphi) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f \tag{i}$$.
Preuve: comme $f$ est continue, elle admet une primitive $F$ sur $I$ et on a l'égalité $F\left(\varphi(b) \right )-F\left (\varphi (a) \right)= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f$. Mais comme $f$ est continue, $F$ est de classe $\mathcal C^1$ et on a par composition des dérivées, l'égalité $(F \circ \varphi)' = \varphi ' \times (F' \circ \varphi ) = \varphi ' \times (f \circ \varphi )$ et en intégrant: $$\int_a^b \varphi ' \times (f \circ \varphi ) = \int_a^b \left ( F \circ \varphi\right )' = F\left(\varphi(b) \right )-F\left (\varphi (a) \right) = \int_{\varphi (a)}^{\varphi(b)} F' =\int_{\varphi (a)}^{\varphi(b)} f \tag{ii} $$
La voilà, la terrible formule de changement de variable en dimension 1 sur un segment, pour des intégrandes continus.
Maintenant demandons nous un peu ce qui se passe pour des fonctions à intégrer un peu plus générales.
Remarque $(\dagger)$: si $c,d$ sont des réels quelconques et $S:= [\min(c,d), \max(c,d)]$ alors pour toute fonction intégrable, si $c<d$ alors $\int_S g = \int_c^d g$ et si $c \geq d$ alors $\int_S g = - \int_c^d g = \int_d^c g$
(techniquement la convergence dominée s'applique à des intégrales de la forme $\int_S (...)$. Bon c'est un micro détail).
Dans toute la suite nous désignerons par $E$ l'ensemble de toutes les fonctions mesurables (boréliennes) et bornées $g$ de $I$ dans $\R$ satisfaisant l'égalité $\int_a^b \varphi' \times (g \circ \varphi) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g \tag{iii}$, autrement dit la formule du changement de variable.
L'énoncé 1 montre en particulier que toute fonction continue et bornée de $I$ dans $\R$ est dans $E$.
2°) $E$ est un sous-espace vectoriel de $\R^I$.
Cela résulte aussitôt de la linéarité de l'intégrale.
3°) Soient $M>0$, $(f_n)_{n \in \N}$ une famille d'éléments de $E$ et $f$ une fonction telle que la suite $f_n$ converge simplement vers $f$.On suppose que $|f_n(x)|\leq M$ pour tout $x\in I$ et tout $n\in \N$. Alors $f$ appartient à $E$ A l'aide de 3 et d'une variante du lemme de classe monotone pour les fonctions (lisible dans le livre de Daniel Revuz et Marc Yor: Continuous martingales and brownian motion) on peut en déduire directement le fait que $E$ est l'espace de toutes les fonctions mesurables et bornées de $I$ dans $\R$.
Nous allons traiter cela en détail ci-dessous.
preuve de 3°): soit $S:= \left [\min\left (\varphi (a),\varphi(b) \right ), \max\left (\varphi (a),\varphi(b) \right ) \right ]$ le théorème de convergence dominée de Lebesgue (via la majoration des fonctions respectivement par les fonctions intégrables $x \in [a,b] \mapsto M \times \|\varphi'\|_{\infty}$ et $x\in S \mapsto M$ ) entraîne que $\int_a^b \varphi' \times f_n \circ \varphi $ tend vers $\int_a^b \varphi' \times f \circ \varphi $ et que $\int_S f_n$ tend vers $\int_S f$, lorsque $n$ tend vers l'infini. On conclut immédiatement avec la remarque $(\dagger)$ faisant suite au 1°).
4°) $E$ contient les fonctions de la forme $\mathbf 1_{[p,q]}$ pour tous réels $p,q\in I$.
De telles fonctions sont limites simples de suites de fonctions continues (penser à des trapèzes contenus sous leur courbe représentative) et on applique 1° et 3°.
Soit $C$ l'ensemble des parties mesurables $X$ de $I$ telles que $\mathbf 1_X\in E$. Alors d'après 4°), contient tous les segments.
5°) Pour tous $X,Y\in C$, si $X\subseteq Y$ alors $Y\backslash X\in C$.
La fonction caractéristique de $Y\backslash X$ est égale à $\mathbf 1_Y - \mathbf 1_X$ et on applique 2°)
6°) Pour toute suite $(X_n)_{n\in \N}$ d'éléments de $C$ croissante pour l'inclusion, on a $\bigcup_{n \in \N} X_n \in C$. En effet, la fonction caractéristique de cette union n'est autre que la limite simple de la suite $\left (\mathbf 1_{X_n}\right )_{n \in \N}$ et on applique 3°) (avec $M=1$ évidemment).
7°) $C$ contient tous les boréliens.
Cela résulte aussitôt du lemme de classe monotone, appliqué à l'ensemble des segments contenus dans $I$, en utilisant les points 4°, 5° et 6° ci-dessus.
Par suite, toute fonction borélienne dont l'image est finie est dans $E$ puisqu'il s'agit d'une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de boréliens.
8°) Toute fonction borélienne bornée est dans $E$. [size=large]Autrement dit toute fonction borélienne bornée satisfait la formule du changement de variables $(\text {i})$ énoncée au 1°).[/size] Soit $f$ une telle fonction et $n$ un entier naturel. Soit $N$ un entier tel que $|f(x)|\leq N$ pour tout $x\in M$. On pose pour tout $x$ et tout entier $n$, $f_n(x):= \sum_{k\in\Z} k \times 2^{-n} \mathbf 1_{\left [k \times 2^{-n}, (k+1) \times 2^{-n} \right [} \left ( f(x)\right )$. Alors $f_n$ est borélienne comme $f$ (par composition), ne prend qu'un nombre fini de valeurs (du fait que $f$ est bornée) et converge simplement vers $f$ (en fait uniformément, on a $\|f_n - f\|_{\infty} \leq 2^{-n}$ pour tout $n\in \N$).
########################
Projet: écrire une formulation correcte de cet énoncé (et en trouver une preuve) pour des fonctions continues par morceaux lorsqu'on ne dispose pas de théorie de la mesure.
Mais tu pourras rédiger tout ce que tu veux, si c’est cela qui est dans le cours…
Je n'avais jamais réfléchis à une telle généralisation et pourtant elle n'est pas super compliquée. Peut-être qu'ils ont la flemme de l'exhiber dans les bouquins...
Par contre s'il s'agit de rédiger des mathématiques, alors il s'agit de rédiger une démonstration.
A nouveau étant donnés $a,b,c,d$ des réels tels que $a<b$ et $c<d$, $h:[a,b]\to [c,d]$ une fonction $\mathcal C^1$ et $f: [c,d]\to \R$ une fonction continue, on a $\int_{h(a)}^{h(b)} f = \int_a^b h' \times (f \circ h)$ sans rien supposer d'autre sur $h$!!!!!!. Et la preuve complète de ce fait fait une ligne! Avec pour seuls prérequis le lien entre les primitives d'une fonction continue et son intégrale, et la formule de composition des dérivées!
Donc si le prof ou le règlement de l'examen ont poussé l'incurie mentale jusqu'à faire figurer dans la liste des outils disponibles une version dégradée de ce théorème avec des hypothèses handicapées (la dérivée de $h$ ne doit pas s'annuler ouin ouin), on rajoute cette preuve d'une ligne et ça règle le problème.
Une rédaction correcte n'est rien d'autre qu'une démonstration correcte, en cas de doute, on apprend ce qu'est une démonstration.
Le résultat que je cite s'applique totalement aux fontions citées par MrJ ($\log$ et $\sqrt{}$, sur des sous-intervalles de $[1,+\infty[$).
Je suis d'accord avec ce que tu écris Foys, mais pour de nombreux changements de variable, la forme $t\mapsto f(\varphi(t))\varphi'(t)$ est bien "cachée" ce qui rend très difficile pour un étudiant de niveau moyen l'application de la forme originale du théorème.
Le problème est que lorsque $h$ est une fonction de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et $f$ est seulement une fonction continue par morceaux sur le segment $[h(a),h(b)]$, la fonction $h'\times f\circ h$ peut ne pas être continue par morceaux sur le segment $[a,b]$.
Autrement dit, si on ne rajoute pas d'hypothèses sur la fonction $h$, il est possible que l'application d'un théorème, qui est pourtant exact, fasse sortir du cadre du programme.
Par exemple, si on prend pour $h$ une fonction $C^1$ qui prend une infinité de fois la valeur $0$ et une fonction $f$ qui est discontinue en $0$, il est fort probable d'obtenir une fonction $h'\times f\circ h$ qui n'est pas continue par morceaux sur le segment $[a,b]$.
La fonction $h$ définie sur $[0,1/2]$ par $h(x)=x^3 \sin(\pi/x)$ si $x\neq 0$ et $h(0)=0$ est bien de classe $C^1$ sur cet intervalle. La fonction $f$ définie sur $[0,1/8]$ qui vaut $1$ partout sauf en $0$ où elle est nulle est bien continue par morceaux sur ce segment.
En revanche, la fonction $h'\times f\circ h$ présente une discontinuité en toute valeur $1/n$ pour tout entier $n\geq 2$ donc elle n'est pas continue par morceaux sur le segment $[0,1/2]$.
Cependant, elle l'est sur l'intervalle $\left]0,1/2\right]$, ce qui rentre dans un autre cadre du programme...
Je pense que c'est une partie de l'explication.
Pour ma part, je suis en PT, donc le programme se limite au cadre des fonctions continues.
Après réflexion, il me semble que la seule manière de rester totalement rigoureux et d'utiliser directement le théorème comme Foys le mentionne depuis le début de cette discussion, mais je me demande si c'est vraiment raisonnable d'attendre cette rédaction de la part d'un étudiant de niveau moyen : la forme du théorème n'apparait pas explicitement dans la plupart des intégrales.
Je vais encore y réfléchir, mais je pense adapter une forme assez proche de celle présentée dans le premier message, même si elle n'est pas totalement rigoureuse. Je préfère procéder de cette manière que de me retrouver avec 3/4 d'une classe qui ne sait pas faire un changement de variable dans une intégrale.
\begin{align}I&=\int_1^2 \dfrac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\textrm{d}t\\
&=4\int_1^2 \dfrac{\ln\left(\sqrt{t}\right)}{2\sqrt{t}}\textrm{d}t\\
\end{align}
Nous avons:
$$\forall t\in [1,2],~\forall u\in \left[1,\sqrt{2}\right],~u = \sqrt{t}~\Leftrightarrow~t = u^2$$
Par ailleurs, $u\mapsto u^2$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[1,\sqrt{2}\right]$ de dérivée $u\mapsto 2u$, et $t\mapsto \displaystyle\frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}$ est continue sur $[1,2]$.
Donc, d'après la formule du changement de variable:
$$\displaystyle\int_1^2\displaystyle\frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt = \displaystyle\int_1^{\sqrt{2}}\displaystyle\frac{\ln\left(u^2\right)}{u}2udu =~... $$
Je te rejoins Bbidule : je pense que je vais surtout insister sur l'hypothèse que $u:t\mapsto u(t)$ doit être de classe $\mathcal{C}^1$ et demander aux étudiants d'éviter de manipuler "dans tous les sens" les $\textrm{d}x$ et les $\textrm{d}t$ sur leur copie (mais de le faire en brouillon éventuellement).
Il faudrait tout de même préciser quelles sont les fonctions qu'il est autorisé de "découper" pour se ramener à des intégrales de fonctions continues.
Et justement, les théorèmes de changement de variable / IPP ne sont donnés (dans la plupart des cours pour débutants) que pour des fonctions continues.
Oui.
Si tu souhaites justifier le changement de variable que j'effectue dans mon précédent message, c'est plutôt le caractère $\mathcal{C}^1$ de $t:~u\mapsto t(u)$ (ie de la bijection réciproque de $t\mapsto u(t)$) qu'il convient de souligner ici.
"On fait le changement de variable $t=blabla(u)$, ce qui est possible car la fonction $u\mapsto blabla(u)$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle bidule."
Pas de fioritures.
Foys : Je pense que ton énoncé de changement de variables devrait même se généraliser aux fonctions mesurables (et pas simplement Boréliennes), même si ça nécessite de faire attention puisque $f\circ \varphi$ n'est pas toujours mesurable. Si je ne me trompe pas $\varphi' \cdot f \circ \varphi$, elle, l'est toujours.
Héhéhé : Qu'est-ce qui est le plus agréable pénible ? Énoncer et démontrer des théorèmes avec des fonctions continues par morceaux ou faire des relations Chasles à chaque fois qu'une fonction n'est pas continue ? Pour moi il n'y a pas grande différence.
À noter que dans les deux cas on est bloqué le jour fatidique où on se retrouve à étudier
\[
\int_0^1 \lfloor 2 \sin(1/t)\rfloor \mathrm dt .
\]
Heureusement ça n'arrive pas si souvent que ça.
@bisam : Je vais faire la même chose. C’est la rédaction alliant le mieux rigueur et clarté.
Pour l'intégrale, les choses sont claires et précises.
Pour clore le débat, Foys pourrais-tu énoncer le même théorème (fonction d'une variable) pour les primitives avec un changement de variable bijectif et non bijectif avec la notation d'intégrale indéfinie (sans bornes).
En effet, le domaine de définition et de primitivation est rarement un segment.
C'est souvent un intervalle semi-ouvert non borné.
Merci
Lipschitz
Pour les intégrales indéfinies, le changement de variable est :
* soit la formule de dérivation d'une composée : $\int f'(x)g(f(x))\ dx = G(f(x)) +C$ où G est une primitive de g; déguisé en $\int f'(x)g(f(x))\ dx = \int g(f(x))\ f'(x) dx=\int f(u)\ du = G(u) + C = G(f(x)) +C$
* soit un changement bijectif pour pouvoir "revenir à la variable de départ", puisque $\int f(x)\ dx$ est une expression en la variable $x$.
Cordialement.
$$ \int_{a}^{b}f(u(t))u'(t)dt = \int_{u(a)}^{u(b)}f(u)du $$
est valable lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$, $u$ de classe $C^{1}$ sur $[a,b]$ et n'est que la transposition aux primitives de la formule de dérivation des fonctions composées. De façon formelle : en différentiant la relation : $u = u(t)$, on a la relation entre différentielles $du = u'(t)dt$.
- on substitue $f(u)$ à $f(u(t))$
- on substitue $du$ à $u'(t)dt$
- les bornes d'intégration se retrouvent en remarquant que $u = u(t)$ varie de $u(a)$ à $u(b)$ lorsque $t$ varie de $a$ à $b$
On peut s'amuser à chercher les hypothèses minimales sur $f$ et $u$ pour que la formule soit valable : je n'ai gardé que les hypothèses les plus couramment rencontrées en pratique.$$ \int_{a}^{b}f(t)dt = \int_{u(a)}^{u(b)}f(t(u))t'(u)du $$
est valable lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$, $u$ est un $C^{1}$ difféomorphisme sur $[a,b]$, de réciproque $u\longmapsto t(u)$. De façon formelle : $u = u(t)$ si et seulement si $t = t(u)$. En différentiant la relation : $t = t(u)$, on a la relation entre différentielles $dt = t'(u)du$.
La justification de la deuxième formule de changement de variable à partir de la première est élémentaire : $u\mapsto t(u)$ est la bijection réciproque de $t \mapsto u(t)$ sur $[a,b]$, donc : $$\forall x\in [a,b],\quad t(u(x)) = x$$ En dérivant cette relation, on en déduit que : $$\forall x\in [a,b],\quad u'(x)t'(u(x)) = 1$$ donc en intégrant pour $x$ variant de $a$ à $b$ et en posant le changement de variable $x\mapsto u(x)$ : $$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}\underbrace{f(t(u(x))}_{f(x)}\underbrace{t'(u(x))u'(x)}_{1}dx = \int_{u(a)}^{u(b)}f(u)t'(u)du $$
Je pose la question sans arrière pensée, j'ai essayé les deux versions.
Par exemple, on dira (suivant les conseils avisés de Bioche) :
Et le péquin va tomber droit dans le piège et obtenir un résultat négatif pour une intégrale d'une fonction partout positive.
Je pense que tu peux suivre sans risque l'exemple de Daniel Perrin qui distingue aussi les deux formules :
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/enseignement/integrationpremiercycle.pdf?11
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Sauf si le péquin constate que $\theta\mapsto \tan(\theta)$ n'est pas de classe $C^1$ sur $]0,2\pi/3[$, ce qui devrait être faisable pour un élève attentif et l'incitera peut-être à utiliser la relation de Chasles avant d'effectuer son changement de variable.
Pour beaucoup, affirmer qu'une fonction est continue (ou dérivable), est une sorte de rituel - "Par les théorèmes usuels, on montre que ..." - à invoquer en début d'exercice et qui permet que le prof soit content. C'est complètement indépendant du fait que certains théorèmes requièrent telle ou telle propriété de continuité ou de dérivabilité.
C'est un très bon exemple qu'on peut traiter correctement en remarquant que le changement de variable $t=\tan(\theta)$ est valable sur chaque intervalle de l'ensemble de définition de $\tan$ : on identifie ainsi une primitive $\Phi(\theta)$ de $\frac{1}{2+\cos(2\theta)}$ sur la réunion des intervalles $I_{k} = \left]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right[$. La primitive définie sur $\mathbb{R}$, nulle en $0$ est de la forme $F(\theta) = \Phi(\Theta) + C_{k}$ sur $I_{k}$, les constantes $C_{k}$ se calculant par récurrence et des arguments de continuité.
Ici, inutile de calculer toutes les constantes $C_{k}$ puisque le calcul de $C_{0}$ (nul pour le choix le plus naturel de la primitive $\Phi$) et de $C_{1}$ suffit pour conclure.
@Benoit RIVET : Je suis d'accord avec ton message précédent. Formellement, c'est la première version qui est enseignée (dans mon programme du moins), donc j'essaye de toujours me ramener à cette forme.
Au passage, on peut même rajouter une troisième version pour les intégrales généralisées qui nécessite d'avoir un changement de variable strictement monotone.
Je n’ai pas d’exemples, là comme ça.
J’ai croisé quelques discussions. Cette question (pourquoi bijectif ?) est redondante.
Pour Riemann on parle souvent de fonctions continues par morceaux (on laisse de côté le fonctions réglées).
Mais la composition ne la conserve pas. Peut-être est-ce la seule raison ?
La stricte monotonie permet de garder la continuité par morceaux par composition si je ne dis pas de bêtise…
Le cas « seulement continue » est pratique finalement mais restrictif.
Je répète, la seule chose à vérifier est qu'on peut passer à la limite dans les bornes des intégrales. C'est d'ailleurs la démonstration.
Selon, alors, il n’y a qu’une flemme dans tous ces cours d’intégration qui ajoutent « strictement monotone » ou « bijective » ?
Mon avis est que l’on désire que l’intégrande soit au moins localement intégrable.
Mais je suis d’accord que cette existence de l’intégrale est déjà un problème sur un segment (encore que la définition « continue par morceaux » sur un ouvert ou un non bornée semble plus souple).