Inéquation quotient-produit et exposants
Bonjour
Youtube vient de me montrer une vidéo d’un prof qui a été la source d’inspiration d'Yvan Monka. Dans la vidéo ce prof espagnol montre comment résoudre :
$$
\frac{(2x-5)^{17} \cdot (3-x)^{13} }{(x-4)^{8} \cdot (x-9)^{5}} \leq 0.
$$ C’est la même méthode qu’en Russie. Mais en France il y a le tableau de signes… Comment présenteriez-vous la solution ?
Je n’ai trouvé rien de semblable en français parce que les exos sont bien plus faciles.
Youtube vient de me montrer une vidéo d’un prof qui a été la source d’inspiration d'Yvan Monka. Dans la vidéo ce prof espagnol montre comment résoudre :
$$
\frac{(2x-5)^{17} \cdot (3-x)^{13} }{(x-4)^{8} \cdot (x-9)^{5}} \leq 0.
$$ C’est la même méthode qu’en Russie. Mais en France il y a le tableau de signes… Comment présenteriez-vous la solution ?
Je n’ai trouvé rien de semblable en français parce que les exos sont bien plus faciles.
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Réponses
Ensuite je fais un gros tableau à six lignes, avec x en première et donc les quatre valeurs d'annulation des expressions sous lesquelles je mets soit une barre simple soit une double barre si valeur interdite, en prolongeant dans les deux cas une barre simple pour qu'elle compartimente toutes les lignes du tableau, les lignes suivantes comportent les quatre expressions et la dernière la grosse expression totale, dans laquelle on prend soin de mettre les éventuelles doubles barres.
Ensuite on remplit les signes et pour réponse j'attends simplement : "S = telle réunion d'intervalles"
Pour éventuellement simplifier et échapper à une ligne on peut évidemment dire "un carré est toujours positif donc..." mais la démarche générale est là.
On dit tout de suite que la puissance 8 ne change pas le signe et donc qu’il suffit de regarder les trois autres facteurs (dans oublier de retirer le nombre 4).
@Dom, ma question est très simple: Rien de plus, aucun sous attendu. En général dans le tableau de signe chaque ligne est une équation linéaire et parfois le second degré est aussi une ligne. Ici il faut discuter en fonction des exposants. Ligne avec $(x-4)^8$ où il n’y a que des plus suffit pour toi ou il faut justifier? Et pour les 3 autres qui sont à la puissance impaire?
C’est vrai que je vois souvent des puissances 1 et éventuellement 2.
Le point de cours est de compléter sans justifier la ligne des -/+ pour un truc affine « ax+b ».
Ainsi, je pense qu’on peut exiger une justification du genre :
« quel que soit le réel $x$, $(x-5)^5$ est du même signe que $(x-5)$, de même pour … et $(x-9)^8$ est positif. »
Puis envoyer le tableau de signe.
En effet je déteste « un carré est toujours positif » surtout quand on ajoute le mot « toujours ».
Bon, à l’oral, je suis sûr que tout le monde l’a déjà dit une fois :-D
Une puissance 8 est un carré pour moi sinon. Les rares fois où j'en vois je m'appuie sur cette réécriture et ça passe.
C'est d'ailleurs plus logique sachant que les seules fonctions puissance étudiées au lycée sont carré et racine.
La vidéo est ici (25 minute):
On est sensé de demander de résoudre cette inéquation dans l’ensemble des nombres réels, donc le carré est positif. Par contre les élèves que j’ai eu voient les carrés partout. Si l’élève mentionne le carré…. Et bah il y a des fortes chance qu’il n’a pas remarqué que les expressions ne sont pas au carré. Et s’il veut mentionne le carré, bah dans ce cas il faut le faire proprement. Genre $x^8 = x^2 \cdot … \cdot x^2$. Chaque facteur est positif parce que c’est un carré. Le produit des termes positif est positif… Je chipote, oui. :-D
Il fait calculer $(x-9)^7$ pour quatre valeurs différentes de $x$, alors que deux suffiraient. Et pareil pour les 3 autres facteurs. Le tableau de signes, ça peut paraître plus lourd, mais au final c'est bien plus efficace.
Actuellement c'est quel niveau ce genre de choses ?
Il y a Alex aussi https://www.youtube.com/c/MatematicasprofeAlex/videos
Absolument pas. On manipule très souvent les tableaux de signes avec des exponentielles, des logarithmes dans le secondaire.
Sinon, oui justification du signe en fonction de la parité de l'exposant.
Ok, c'est confirmé qu'il faut justifier. Mais vous n'avez pas répondu à ma principale question: comment vous voulez que l'élève présente les résultats? Quelqu'un peut rapidement écrire la solution complète comme si il ou elle était un élève? J'ai besoin de le savoir parce que je n'aimerais pas que les élèves que j'aide énerve leur professeur parce que ce qu'on a fait et un peu laxiste et/ou expéditive. Parfois vous vous attaché à détails "évidents" auxquels des gens non initiés ne pensent pas.
@xax, il a plus d'abonné, parce qu'il enseigne de façon classique, ce qui est le cas un peu partout dans le monde. C'est génial ce que fait Yvan Monka, mais cela n'est d'aucune utilité pour les élèves étrangers. Eux, ils cherchent en général comment résoudre les exos plus complexes du point de vu de calcul. En France c'est plutôt post BAC, avant c'est rare de demander ce genre de chose. A l'étranger, c'est 4e, 3e ou 2nd. En Russie les équations de ce genre en 3e, les inéquations en 2nd.
@zeiton, Si tu le fais, merci. Mais je t'assure que tu es une minorité ;-)
@i.zitoussi, C'est plus long, mais du point de vu pédagogique c'est bien de creuser plus au début. Moi, je commence avec les systèmes d'inéquations. C'est beaucoup plus pénible que le tableau de signe et cela devient rapidement chronophage. Néanmoins, cela permet de poser les bases et de montrer pourquoi on fait le tableau de signe.
@Riemann, C'est comme cela que pense un bon élève qui n'a pas eu de cours sur les formules générales des exposants. Si j'ai bien compris, tu expliques aux tiens que si dans $a^m$ $m$ est divisible par $2$, alors on peut écrire $m=2k$ (avec $k$ un entier) et $(a^k )^2$. Mais pour cela il faut déjà qu'ils sachent utiliser $(a^k )^2$...
C’est du niveau 2nde même si c’est rare de proposer des exposants « si grands » mais autant en 2nde qu’en Tle.
$a^8$ est donc $a^4$ au carré
Dans ton calcul, on arrivait à $a^8$ vaut un carré multiplié par un autre carré etc ... beaucoup moins naturel.
Sinon je reviens sur la méthode du prof Julio. Elle ressemble à la méthode russe, mais pas exactement. La méthode russe (méthode des intervalles) est plus expéditive que le tableau de signe français, je préfère le tableau de signe pour certains élèves.
Grosso modo la méthode consiste à trouver les points critiques, les mettre sur la droite graduée comme Julio l'a fait. Puis on trouve le signe d'un seul intervalle, le plus facile ($x=0$ ou $x=1$), et on en déduit le signe des autres. Sachant que quand on passe le point critique :
1) si l'expression est à la puissance $m$ avec $m$ pair, alors pas de changement de signe. On dessine une sorte d'auto-boucle.
2) dans les autres cas on change de signe.
Ci-joint l'exemple. J'ai trouvé que le signe de l'intervalle $]-\infty ; 5/2]$ : positif. Puis j'ai déduit les autres signes : on change (-), on change (+), on ne change pas (+), on change (-).
Ça me va. C'est une recette de cuisine qui fonctionne, avec des présupposés, mais on n'en demande pas plus aujourd'hui.
Cordialement,
Rescassol
Le tableau de signes est lisible même par des élèves faibles (tableau à double entrée).
Alors que là, justement les faibles vont demander comment tu as mis les signes.
Je n'enseigne pas dans le secondaire, mais j'aurais tendance à penser que toute recette de cuisine qui n'est pas présentée de manière "standard" doit être justifiée. Si jamais j'avais cela sur une copie de L3, je n'en serais pas gêné car la détermination du signe sera rarement l'aspect difficile de la question, et donc toute méthode, même que je ne connais pas, m'ira sous réserve que je sois convaincu qu'elle soit valide. En plus, je sais que nous accueillons pas mal d'étudiants étrangers qui ont souvent appris les maths du secondaire de manière différente.
Je me souviens une fois d'un étudiant de L1 qui travaillait beaucoup avec les bouquins de la série Schaum (années 60-70 dans des formats un peu particulier, et qui pour moi ont d'ailleurs un intérêt en complément de ce que l'on fait en France). Il faisait les calculs de limite à coup de règle de l'Hôpital que nous n'avions pas étudiée. Avant de lui rendre sa copie d'interro, je lui ai demandé de m'en fournir un énoncé précis et une démonstration. Comme j'ai eu ni l'un ni l'autre, je ne lui ai pas attribué les points, et la fois suivante, il a énoncé correctement la règle et sa démonstration.
Tu te bases sur quoi pour affirmer que je suis une minorité ?
Je corrige le bac depuis deux décennies. Je ne corrige pas mes élèves, cette longue expérience me permet de contredire ton affirmation. C'est au contraire majoritaire et très classique.
Avec le tableau de signe, l'élève est sensé calculer le signe dans chacun des intervalles, et il peut ensuite vérifier que le signe change à chaque fois, sauf pour les racines doubles.
L'alternance des + et - est également présente dans le tableau de signes, mais comme moyen de contrôle. Et si l'élève maitrise son sujet, il présente les résultats sous la forme du tableau de signe, mais en réalité, peut-être qu'il utiise cette alternance pour remplir la dernière ligne.
Sur un plan pédagogique, le tableau de signe me paraît plus complet. Il est plus long à remplir, mais il est plus rigoureux.
La recette de cuisine, c'est effectivement ce que tout le monde fait quand il maitrise la situation.
Le schéma ne dit rien puisqu’il n’y a pas d’explication.
Le tableau est clair et la leçon dit comment le remplir :
- signe d’une fonction affine pour les lignes sauf la dernière (3e)
- produit des signes (4e)
Mais bon, chacun fait comme il veut.
Si tu veux vraiment leur tirer les vers du nez, tu peux exiger d'eux une phrase du style: "le signe d'un produit dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs", mais dans le cours sur les tableaux de signes ils devraient tout de même avoir déjà vu des cas similaires.
La méthode de la video espagnole, vraiment non.
- trouver le signe de produits de facteurs,
- résolution d'inégalités avec des produits de facteurs,
- exercices équivalents en partant de fonctions dont il fallait développer les composées $fog$ etc.
Avec en plus, c'était la marotte de mon prof, quasiment la moitié des questions avec des valeurs absolues, du genre selon les valeurs de x enlever les symboles valeur absolue, donc il fallait faire des tableaux avec les expressions valables dans tel ou tel domaine. Je pense que ça tenait plus à la personnalité du prof qui n'expliquait absolument rien et qui donc obtenait des erreurs sur ce type d'exos pour les 4/5 de la classe. Ce qui m'avait frappé par exemple ça avait été l'introduction du symbole $\infty$ sans le moindre commentaire, et refus des questions (heureusement on avait les bouquins).
Par contre curieusement je n'ai pas trouvé d'exos comme celui de ton premier message, ce genre était posé plutôt en seconde. Quand il y avait des fonctions avec des $x$ au dénominateur, il fallait seulement indiquer le domaine de définition
Et, ensuite… on ne fait plus de tableau de signes 8-)
Et merci pour la discussion annexe
@zeitnot Sur les exercices des manuels, sur des exercices que je vois passer dans le groupe de prof de maths, sur les injonctions du programme (pas de virtuosité en calcul) et surtout les énoncés des exercices de BAC. C'est quand la dernière fois que tu as vu des choses pas mal calculatoires ? ;-) Il y a un certain gap entre faire des exemples très simples, même s'il y a du $\ln$ dedans et faire des exercices poussés non guidés. Théoriquement, les élèves ont des connaissances. Mais de point de vu pratique... sans un minimum de pratique, c'est infaisable.
@Dom, ce sont les vacances ? :-D Certes, je dis souvent que les méthodes russes sont cool, mais cette fois j'ai bien écrit : :-P
@i.zitoussi Juste pour info : cette méthode est enseignée après avoir fait les systèmes d'inéquations (y compris les inéquations par disjonction des cas), les fonctions, les (in)équations avec la valeur absolue. Cela ne vient pas tout de suite comme "méthode".
Mais que ça soit simple ou compliqué, à partir du moment où il y a du ln ou de l'exponentielle, il ne s'agit pas d'équation du premier degré ou du second degré, contrairement à ce que tu affirmes ici gratuitement.
Les problèmes où les fonctions ne sont pas toutes des polynômes apparaissent naturellement en études de fonction. Rien que la simple remarque "exponentielle toujours positive donc le signe de exp(x)(x-1) est celui de x-1" j'ai dû la faire écrire trente fois cette année en cours particulier.
@Reimann, les exposants sont faciles. tout comme le calcul littéral. Mais comme ils y sont confrontés à compte de gouttes, le concept des puissances n’est pas maîtrisé. C’est un peu comme au CP ne faire que l’addition. Du coup l’élève voit partout des additions en CE1-CE2. Question d’habitude ou manque d’habitude.
Je te rejoins tout à fait.
Après Vorobichek a raison de dire que les exercices en France sont plus simples et ceux de la Russie sont mieux. On le sait. A part ça, c'est un sujet vide d'intérêt juste pour se gargariser, regardez je suis russe comme on est beaux, et vous français vous êtes tout moisis. On le sait, mais des centaines de messages avec continuellement la même rengaine, c'est à la fois fatigant, inutile et ridicule.
Tu es malhonnête. Je vais arrêter là.
Mais on sait bien qu’il faut un temps pour tout.
Ainsi, faire sept lignes pour $(x-6)^7$ ne me parait pas absurde, même en 2nde.
L’élève pourra même faire briller ses yeux quand il verra pourquoi on peut aller plus vite.
Il n’y a rien de profond mathématiquement, mais réaliser soi-même un truc qu’on devrait maîtriser, c’est déjà une bataille de gagnée.
Dans certains manuels on trouve encore des propriétés du genre « si le nombre de facteurs négatifs d’un produit est impair, alors il est négatif » et idem pour un nombre pair.
On peut demander à Gertrude le signe de $(-1372)^{-537}$ ou encore l’écriture décimale de $(-1)^328$ puis celle de $-1^{246}$.
Mais ATTENTION de ne pas effleurer les « virtuosités calculatoires » !!!
Il me semble qu’une démonstration ferait appel à une récurrence.
Pour $x$ différent de 4 et $9$ on a :
\[
S\left(x\right)=\frac{\left(2x-5\right)^{17}\left(3-x\right)^{13}}{\left(x-4\right)^{8}\left(x-9\right)^{5}}=\underbrace{\left(\frac{\left(2x-5\right)^{8}\left(3-x\right)^{6}}{\left(x-4\right)^{4}\left(x-9\right)^{2}}\right)^{2}}_{\geqslant0}\times\frac{\left(2x-5\right)\left(3-x\right)}{x-9}
\]
et donc le signe de $S\left(x\right)$ est celui de $\frac{\left(2x-5\right)\left(3-x\right)}{x-9}$.
D'où le résultat: