On sombre.
Bonjour,
Je sais que ce genre de sujet a déjà été discuté ici mille fois, mais je rajoute quand même une couche.
Lors d'une discussion avec un professeur nouvellement certifié et validé, je lui faisais part de ma réflexion sur le manque de curiosité des élèves en maths. Je lui ai dit qu'aucun élève ne m'a jamais demandé pourquoi, lorsque l'on veut savoir si un nombre est divisible par 3 (ou par 9), il faut additionner ses chiffres. (d'où ça sort ?).
Réponse du l'intéressé : heu... je ne sais pas non plus l'expliquer en toute honnêteté.
...
Dur.
Je sais que ce genre de sujet a déjà été discuté ici mille fois, mais je rajoute quand même une couche.
Lors d'une discussion avec un professeur nouvellement certifié et validé, je lui faisais part de ma réflexion sur le manque de curiosité des élèves en maths. Je lui ai dit qu'aucun élève ne m'a jamais demandé pourquoi, lorsque l'on veut savoir si un nombre est divisible par 3 (ou par 9), il faut additionner ses chiffres. (d'où ça sort ?).
Réponse du l'intéressé : heu... je ne sais pas non plus l'expliquer en toute honnêteté.
...
Dur.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
de l'expression en base 10 et du fait que 10 est congru à 1 modulo 3 ou 9.
Cordialement
Cela résulte immédiatement de ce que $10^n\equiv1\quad[\alpha]$, quel que soit l'entier naturel $n$ et avec $\alpha\in\{3,\,9\}$.
Attention : il t'a répondu : "je ne sais pas non plus l'expliquer en toute honnêteté". Peux-tu l'expliquer à des élèves simplement ?
Cordialement,
Thierry
Effectivement, si même un professeur n'est pas capable d'expliquer ce simple critère de divisibilité c'est qu'il y a un souci. Mais je crois que nous le savions déjà.
Je me souviens que je donnais l'explication en sixième, ne serait-ce qu'en montrant le critère sur un nombre entier à trois ou quatre chiffres.
Je suis d'accord avec la remarque de Thierry. Que veut dire réellement la phrase: << je ne sais pas non plus l'expliquer en toute honnêteté. >> Signifie-t-elle l'ignorance (crasse?) de ce prof' ou est-ce un aveu qu'il ne sait pas comment l'expliquer à des élèves (dont n'est pas précisé le niveau de classe)?
Et quand bien même ce serait la preuve de l'ignorance crasse de ce prof' qu'est-ce qu'on est censé faire de cette information? Inférer que tous les profs de mathématiques sont des imposteurs incompétents? Qu'il faut "assainir" la profession en supprimant des classes de lycée et de collège? Quoi d'autre?
Réaction n°1 : je ne connais pas cette astuce
Réaction n°2 : je connais cette astuce, mais je ne sais pas pourquoi elle marche
Réaction n°3 : je connais cette astuce, je sais pourquoi elle marche, mais je ne saurais pas l'expliquer à des collégiens
Réaction n°4 : je connais cette astuce, je sais pourquoi elle marche, et je pourrais l'expliquer à des collégiens
Bonne nouvelle, on n'est pas dans le cas 1 (on peut supposer)
J'ai peur qu'on soit dans le cas 2.
Qui peut prétendre être dans le cas 4 ? Expliquer un truc comme ça, une recette de grand-mère qui ne sert plus à rien, à des collégiens qui utilisent une calculatrice pour vérifier si 100 est divisible par 2 ? Mission impossible
mathdoku.
Cordialement
D'un autre côté , il doit évaluer ses élèves scrupuleusement avec des compétences en quatre couleurs , il n'y a donc rien à craindre .
Domi
Tu crois qu'Arnaud G attend qu'on lui fournisse autant d'explications sur les propriétés qu'il donne qu'il y a d'intervenants actifs sur ce forum? Sans blagues? Si c'est le cas alors sa question est mal posée. M'est avis qu'on est plutôt reparti pour un concert de pleurnicheries trop courantes sur ce forum.
Merci de me comparer à une mouche.
Cela dit, il faudrait éviter ce genre de comparaison pour ne pas dramatiser davantage.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Le_Coche_et_la_Mouche
Pour l'expliquer au collège, on peut le faire pour des entiers à 3 chiffres (par exemple) à partir de leur décomposition décimale avec quelques factorisations.
Mon sujet n'a pas de but précis, c'est uniquement un témoignage.
On a le droit d'utiliser le binôme de Newton ou une récurrence?
Domi
On écrit l'entier N à 3 chiffres sous la forme :
N = a x 100 + b x 10 + c avec a,b,c des chiffres, a différent de 0.
Il vient :
N = a(99+1) + b(9+1) + c
N = 99a +9b + a + b + c
N= 3(33a +3b) + a + b + c
Si a + b + c est un multiple de 3, alors il existe un entier k tel que a + b + c = 3k,
d'où :
N = 3(33a +3b) + 3 k
N = 3(33a+3b+k).
N est donc un multiple de 3.
OK, Foys demandait une explication, pas une preuve, pour tout entier qui vérifie la propriété susmentionnée.
Hint: je sais que $100=9\times11+1$ et que $10=9\times1+1$, puis que $9$ est un multiple de $3$.
J'avais pu les démontrer sur des petits nombres (4 chiffres) et puis m'étais convaincu que c'était "généralisable", mais un peu embêté de ne pas disposer d'outil (= la récurrence) pour le formaliser.
C'est mon premier souvenir de démonstration par moi-même.
Cordialement
Domi.
a) Il faut déjà avoir le bagage « quand t’ajoutes deux nombres de la même table, la somme reste dans ladite table ».
C’est évident selon la définition de « être dans la table de » et selon ce que l’on sait sur l’addition (associativité).
Déjà là, vous allez ramer si l’on prend un 6e au hasard...
b) Ensuite on a la même chose avec la soustraction (tant pis si on touche aux négatifs, ça, ce n’est pas un problème).
c) savoir que dans le cadre des entiers, la multiplication est une addition itérée du même terme.
Je vois ça d’abord, en préalable à une explication, discussion entre un prof et un élève de 6e.
J’exclus pour le moment le littéral. Je reste dans le discours.
Au fait : « je ne sais pas l’expliquer » ça peut vouloir dire « je sens que si je commence, je vais ramer et ramer et encore ramer ». Ce n’est pas si effarant que ça. Au moins le gars sait peut-être à quoi s’attendre face à une classe d’élèves de 6e.
Aurait-on des cadors de l’enseignement là, parmi les intervenants ?
Montrez-nous vos exploits.
Inutile de nous convaincre que vous avez compris, vous, ce n’est pas la question.
Mais montrez-nous qu’avec une classe, ne serait-ce qu’un seul élève a compris votre « explication ».
Ce n'est pas une preuve complète mais elle englobe suffisamment de cas, et surtout, elle semble généralisable à des nombres de $4,5,....$ chiffres ce qui en fait une explication convaincante (mais insuffisante dans l'absolu,)
Le problème soulevé par Arnaud_G n'est pas tant, selon moi, de savoir comment expliquer ça dans des petites classes, mais plutôt de montrer la défaillance du professionnel (je me répète) qu'il avait en face de lui.
Car lorsque quelqu'un dont c'est le métier dit "je ne sais pas expliquer" un point simple, je crains qu'il ne faille traduire par "je connais la règle pour l'avoir entendu dans ma jeunesse, mais j'avoue ne m'être jamais demandé pourquoi cette règle est vraie, et, par suite, être moi-même incapable de la démontrer".
Et ça, c'est problématique.
Sauf si, après la conversation qu'il a eu avec Arnaud-G, il a ensuite essayé de mettre à jour ces connaissances (encore que l'on puisse espérer qu'un capésien ait déjà, et depuis longtemps, les connaissances adéquates).
L'histoire ne dit pas si Arnaud-G s'est empressé de mettre au parfum son jeune(?) collègue
* Grâce à Arnaud_G Je me suis senti super cool et compétent tout d'un coup parce que je savais pourquoi "la preuve par 9" fonctionnait. B-)
PS:
De grâce ne recommence pas tous les jours, même si mon égo le réclame. B-)
Arnaud_G,
On trouve cette démonstration dans le transmath Cycle 4 je crois.
C’est dirigé vers des 4e, plutôt 3e d’ailleurs.
Quand le jeune Capesien dit : je ne sais pas l'expliquer, j'ai peur qu'il faille traduire par :
Réaction n°2 : je connais cette astuce, mais je ne sais pas pourquoi elle marche.
Ceci dit, on est ici sur un forum écrit. Quand on lit un message, on a 30 secondes (ou beaucoup plus si besoin) pour retrouver le pourquoi du comment cette preuve par 9 fonctionne.
Si dans une discussion à brûle-pourpoint, on aborde le sujet, une discussion avec un collègue beaucoup plus expérimenté et très impressionnant, on peut perdre un peu ses moyens, et pressé de répondre, on va répondre qu'on ne sait pas pourquoi cette règle fonctionne. Et 2 minutes plus tard, le gars aura réfléchi au sujet, et trouvé (ou retrouvé) la réponse.
Proposons un mini crash course gratuit sur les congruences.
Prérequis: existence et unicité du reste dans une division euclidienne (pour le point 5° ci-dessous seulement)
$\newcommand{\c}[3]{#2 \equiv #3 \left [ #1\right ]}$
Soient $a,b,q$ des entiers naturels; on note $\c q a b$ la relation "il existe deux entiers naturels $m,n$ tels que $a+mq=b+nq$".
Soit $u$ un entier fixé une fois pour toutes.
1°) pour tous $a,a',b,b'\in \N$, si $\c u a {a'} $ et $\c u b {b'}$ alors $\c u {a+b} {a'+b'}$ (puisque si $m,m',n,n'$ sont des entiers tels que $a+mu=a'+m'u$ et $b+nu=b'+n'u$ alors $a+a'+(m+n)u=b+b'+(m'+n')u$).
2°) pour tous $a,a',b,b'\in \N$, si $\c u a {a'} $ et $\c u b {b'}$ alors $\c u {a\times b} {a' \times b'}.$
Ecrivons à nouveau $a+mu=a'+m'u$ et $b+nu=b'+n'u$. Alors $(a+mu)(b+nu)=(a'+m'u)(b'+n'u)$, autrement dit en développant, $ab+ (mb+na+mnu)u=a'b'(m'b+n'a+m'n'u)u$ ce qui entraîne le résultat cherché.
3°) pour tous $r,s\in \N$, $\c s r r$.
Car $r+0 \times s= r + 0\times s$.
-Dans ce qui suit, un terme arithmétique est une lettre, ou un nombre écrit en chiffres, ou bien $\bf A+B$ ou $\bf A \times B$, où $\bf A,B$ sont des expressions arithmétiques. Etant donnés une liste de lettres $(\mathbf x_1,...,\mathbf x_d$, un terme arithmétique $\mathbf A$ et une liste de termes arithmétiques $(\mathbf B_1,...,\mathbf B_d)$, l'écriture $\mathbf A[\mathbf x_1:=\mathbf B_1,..., \mathbf x_d:=\mathbf B_d]$ désigne le terme arithmétique obtenu en remplaçant pour tout $i$ dans $\mathbf A$, la lettre $\mathbf x_i$ par le terme $\mathbf B_i$.
4°) Soient $(\mathbf y_1,..., \mathbf y_e)$ une suite de lettres, $\mathbf M$ un terme arithmétique, et $(\mathbf C_1,...,\mathbf C_e)$, $(\mathbf D_1,...,\mathbf D_e)$ deux listes de termes arithmétiques.
Soit $p\in \N$.
Si $\c p {\mathbf C_1}{\mathbf D_1}$, $\c p {\mathbf C_2}{\mathbf D_2}$, ... $\c p {\mathbf C_e}{\mathbf D_e}$ alors
$\c p {\mathbf M[\mathbf y_1 := \mathbf C_1, ... , \mathbf y_e := \mathbf C_e]}{ \mathbf M[\mathbf y_1 := \mathbf D_1, ... , \mathbf y_e := \mathbf D_e]}$.
La preuve est immédiate par induction sur la taille de $\mathbf M$, en utilisant 1°), 2°) et 3°) ci-dessus.
Le point 4°) justifie la possibilité de traiter $\c {...} {(...)} {(...)}$ comme une égalité dans les calculs puisqu'on peut substituer dans les expressions, des termes avec d'autres dont on a établi qu'ils étaient équivalents avec ceux-ci.
Bref la pratique des calculs de congruences peut se fonder sur 4°)
Avec ces propriétés, on peut montrer rapidement, pour tout entier $n\in \N$ (par récurrence :-D)les relations $\c 3 {10^n} 1$ et $\c 9 {10^n} 1$, ainsi que $\c {11} {10^{2n}} 1$ et $\c {11} {10^{2n+1}} {10}$ utilisées dans la "preuve par 11".
5°) Etant donnés trois entiers $v,w,x$ avec $x$ non nul, $\c x v w$ si et seulement si les restes de $v$ et de $w$ dans la division euclidienne par $x$ sont identiques..
Le reste d'un nombre $a$ dans la division euclidienne par $x$ est l'unique entier $y$ compris entre $0$ et $x-1$ tel qu'il existe $z\in \N$ tel que $a=zx+y$.
Appelons $y_v$ (resp. $y_w$) le reste de $v$ (resp $w$) dans la division euclidienne par $x$. Il existe $z_v,z_w$
entiers tels que $v=z_v x + y_v$ et $w=z_wx+y_w$.
-Si $y_v$ et $y_w$ sont égaux, alors $v+z_w x = z_v x + y_v + z_w x = z_w x + y_v + z_v x = w + z_v x$ et donc $\c x v w$.
-Réciproquement, si $v+nx=w+mx$ pour certains $m,n\in \N$, alors $y_v$ est le reste de $v+nx$ dans la division euclidienne par $x$ (puisque $v+nx = (z_v+n) x + y_v$), de même que $y_w$ est le reste de $w+mx$ par $x$ dans la division euclidienne par $x$. Mais comme $v+nx=w+mx$, on a $y_v=y_w$ par unicité.
Noter aussi que
6°) pour tout $t\in \N$, si $s$ est le reste de $t$ dans la division par $x$ alors $\c x t s$ (puisque le cas échéant on a un $k\in \N$ tel que $t+0\times x = t = kx+s$).
[size=x-small]Où sont les quotients?[/size]
Heu, c'est pour moi que tu dis ça ? J'espère que non...
Le seul danger à « l’explication » réside dans « vous voyez, ça marche avec deux chiffres, et il se trouve qu’en fait ça marche avec autant de chiffres que l’on souhaite ».
C’est un danger car les élèves aiment à se conforter inconsciemment ou non dans « le prof dit que comme ça marche pour deux chiffres, ça fournit une preuve que ça marche pour autant de chiffres que l’on souhaite ».
J’ai forcé le trait volontairement.
Ils ont tort, oui ! Mais ça laisse des traces.
Ça m’évoque « complète la suite logique 1;2;3;4;... » dont chacun sait qu’il est difficile de convaincre un élève et même certains adultes que « c’est 5 qui est le suivant » n’est pas plus pertinent que « c’est $\pi$ qui est le suivant ».
Cela doit arriver bien sûr mais dans ce fil je ne l’ai pas ressenti.
C’est plutôt « mais c’est honteux voyons ! » que je lis.
Ce qui est honteux n'est pas l'ignorance ce qui est honteux c'est de se moquer de l'ignorance des autres au lieu de la combler quand on pourrait le faire (au moins partiellement). Dans un monde un peu plus idéal normalement ce prof' devrait avoir comblé cette ignorance grâce à son interaction avec Arnaud_G.
Noix-de-Toto: Je t'assure que je ne pensais pas du tout à toi. C'était une réflexion que m'inspirait ce fil dont je ne comprends pas bien la finalité (cf le titre putaclic).
Par exemple, pour 7, le nombre $1000×a+100×b+10×c+d$ est divisible par 7 ssi $100×a+10×b+c-2d$ est divisible par 7.
Généraliser.
-- Schnoebelen, Philippe
Entre potes, à la limite, on se fiche de l’autre, on le chambre, mais sinon, sauf « se faire plaisir » (mot mal choisi) il n’y a pas d’intérêt, pour personne.
Bon, peut-être m’y suis-je déjà laissé prendre, par facilité...
J’espère qu’on ne m’en apportera pas la preuve 8-)
PS: En fait, ce n'est pas qu'ils l'ignorent vraiment mais cela permet de laisser des pulsions violentes s'exprimer sous le prétexte: ils l 'ont bien mérité le mal qu'il leur est fait.
Sinon, je me garderais bien de « vérifier » les compétences disciplinaires d’un collègue...
Toi aussi mais ce n’est pas le même.
-- Schnoebelen, Philippe
Certaines de tes remarques laissent à penser que je n'aurai pas partagé ma preuve avec le collègue en question.
Evidemment que je me suis empressé de lui griffonner ma petite preuve (certes incomplète mais accessible au collège), et il a évidemment compris.
Ce qui me choque dans cette histoire c'est qu'il ne la connaissait pas à priori. J'ai du mal c'est tout.
C'est comme un électricien incapable d'expliquer la différence entre un circuit en série et un circuit en parallèle.
Tu confirmes ce que disais lourrran, notamment.
C’est étonnant en effet, qu’un prof ne s’y soit pas intéressé.
Moi, je n’ai jamais entendu parler d’arithmétique au collège (sauf la division euclidienne, les pgcd/ppcm et les nombres premiers).
Jamais je n’ai fait de congruence. J’ai découvert ça en DEUG (L1 aujourd’hui).
Mais « un jeune » a dû voir ça en Terminale, non ?
Et donc au moins l’outil « congruence » a dû le marquer un peu, me dis-je.
La discussion devient n'importe quoi.
Il est temps de fermer.
AD