On sombre.

Bonjour,
de l'expression en base 10 et du fait que 10 est congru à 1 modulo 3 ou 9.
Cordialement

J'ai vu des collègues confondre $2^59^2$ avec $2592$.

sérieusement, il me semble que depuis l'existence du bac S (1995?) , il y avait un truc qui s'appelait spécialité maths avec un contenu d'arithmétique suffisant pour approcher les congruences et expliquer ce truc que les gosses apprennent parfois en primaire (ou au collège).

Pour savoir si un nombre est divisible par 3 ou 9 , il suffit d'additionner ses chiffres.

Réaction n°1 : je ne connais pas cette astuce
Réaction n°2 : je connais cette astuce, mais je ne sais pas pourquoi elle marche
Réaction n°3 : je connais cette astuce, je sais pourquoi elle marche, mais je ne saurais pas l'expliquer à des collégiens
Réaction n°4 : je connais cette astuce, je sais pourquoi elle marche, et je pourrais l'expliquer à des collégiens

Bonne nouvelle, on n'est pas dans le cas 1 (on peut supposer)
J'ai peur qu'on soit dans le cas 2.
Qui peut prétendre être dans le cas 4 ? Expliquer un truc comme ça, une recette de grand-mère qui ne sert plus à rien, à des collégiens qui utilisent une calculatrice pour vérifier si 100 est divisible par 2 ? Mission impossible

La "recette de grand-mère" sert à jouer à des jeux comme le mathdoku.
mathdoku.
Cordialement

Gilles Benson:

Tu crois qu'Arnaud G attend qu'on lui fournisse autant d'explications sur les propriétés qu'il donne qu'il y a d'intervenants actifs sur ce forum? Sans blagues? Si c'est le cas alors sa question est mal posée. M'est avis qu'on est plutôt reparti pour un concert de pleurnicheries trop courantes sur ce forum.
Merci de me comparer à une mouche.

Gilles: Désolé, mais je deviens un peu parano dès qu'on parle d'insecte sur ce forum. :-D
Cela dit, il faudrait éviter ce genre de comparaison pour ne pas dramatiser davantage.

Ici, toute information est exploitée (déformée?, amplifiée?) généralement pour nourrir toujours le même discours.

Heureusement que FDP est là pour recadrer le débat .

Domi

Et pour les nombres à $4$ chiffres? B-)-

OK, Foys demandait une explication, pas une preuve, pour tout entier qui vérifie la propriété susmentionnée.

Prenons un exemple : considérons le nombre $273$. Je suis un élève de sixième, voire de quatrième. Quelqu'un peut-il m'expliquer ?

Hint: je sais que $100=9\times11+1$ et que $10=9\times1+1$, puis que $9$ est un multiple de $3$.

On ne fait plus ça au collège depuis bien longtemps , sauf pour certains qui font cours tout seul , le problème est au niveau de l'enseignant qui ne sait pas pourquoi ça marche ????

Domi.

Au collège on peut difficilement faire mieux, à mon humble avis, que donner l'explication de Arnaud_G.
Ce n'est pas une preuve complète mais elle englobe suffisamment de cas, et surtout, elle semble généralisable à des nombres de $4,5,....$ chiffres ce qui en fait une explication convaincante (mais insuffisante dans l'absolu,)

A-t-on besoin de faire-valoir?* Je me pose la question en lisant ce fil.
L'histoire ne dit pas si Arnaud-G s'est empressé de mettre au parfum son jeune(?) collègue


* Grâce à Arnaud_G Je me suis senti super cool et compétent tout d'un coup parce que je savais pourquoi "la preuve par 9" fonctionnait. B-)

PS:
De grâce ne recommence pas tous les jours, même si mon égo le réclame. B-)

Comme NdT,
Quand le jeune Capesien dit : je ne sais pas l'expliquer, j'ai peur qu'il faille traduire par :

Réaction n°2 : je connais cette astuce, mais je ne sais pas pourquoi elle marche.

Ceci dit, on est ici sur un forum écrit. Quand on lit un message, on a 30 secondes (ou beaucoup plus si besoin) pour retrouver le pourquoi du comment cette preuve par 9 fonctionne.
Si dans une discussion à brûle-pourpoint, on aborde le sujet, une discussion avec un collègue beaucoup plus expérimenté et très impressionnant, on peut perdre un peu ses moyens, et pressé de répondre, on va répondre qu'on ne sait pas pourquoi cette règle fonctionne. Et 2 minutes plus tard, le gars aura réfléchi au sujet, et trouvé (ou retrouvé) la réponse.

J'aime bien l'idée de récurrence de Fdp. Peut-être faut-il expliquer les détails auxquels elle fait appel.
Proposons un mini crash course gratuit sur les congruences.
Prérequis: existence et unicité du reste dans une division euclidienne (pour le point 5° ci-dessous seulement)

$\newcommand{\c}[3]{#2 \equiv #3 \left [ #1\right ]}$
Soient $a,b,q$ des entiers naturels; on note $\c q a b$ la relation "il existe deux entiers naturels $m,n$ tels que $a+mq=b+nq$".

Soit $u$ un entier fixé une fois pour toutes.

1°) pour tous $a,a',b,b'\in \N$, si $\c u a {a'} $ et $\c u b {b'}$ alors $\c u {a+b} {a'+b'}$ (puisque si $m,m',n,n'$ sont des entiers tels que $a+mu=a'+m'u$ et $b+nu=b'+n'u$ alors $a+a'+(m+n)u=b+b'+(m'+n')u$).

2°) pour tous $a,a',b,b'\in \N$, si $\c u a {a'} $ et $\c u b {b'}$ alors $\c u {a\times b} {a' \times b'}.$
Ecrivons à nouveau $a+mu=a'+m'u$ et $b+nu=b'+n'u$. Alors $(a+mu)(b+nu)=(a'+m'u)(b'+n'u)$, autrement dit en développant, $ab+ (mb+na+mnu)u=a'b'(m'b+n'a+m'n'u)u$ ce qui entraîne le résultat cherché.

3°) pour tous $r,s\in \N$, $\c s r r$.
Car $r+0 \times s= r + 0\times s$.

-Dans ce qui suit, un terme arithmétique est une lettre, ou un nombre écrit en chiffres, ou bien $\bf A+B$ ou $\bf A \times B$, où $\bf A,B$ sont des expressions arithmétiques. Etant donnés une liste de lettres $(\mathbf x_1,...,\mathbf x_d$, un terme arithmétique $\mathbf A$ et une liste de termes arithmétiques $(\mathbf B_1,...,\mathbf B_d)$, l'écriture $\mathbf A[\mathbf x_1:=\mathbf B_1,..., \mathbf x_d:=\mathbf B_d]$ désigne le terme arithmétique obtenu en remplaçant pour tout $i$ dans $\mathbf A$, la lettre $\mathbf x_i$ par le terme $\mathbf B_i$.

4°) Soient $(\mathbf y_1,..., \mathbf y_e)$ une suite de lettres, $\mathbf M$ un terme arithmétique, et $(\mathbf C_1,...,\mathbf C_e)$, $(\mathbf D_1,...,\mathbf D_e)$ deux listes de termes arithmétiques.
Soit $p\in \N$.
Si $\c p {\mathbf C_1}{\mathbf D_1}$, $\c p {\mathbf C_2}{\mathbf D_2}$, ... $\c p {\mathbf C_e}{\mathbf D_e}$ alors
$\c p {\mathbf M[\mathbf y_1 := \mathbf C_1, ... , \mathbf y_e := \mathbf C_e]}{ \mathbf M[\mathbf y_1 := \mathbf D_1, ... , \mathbf y_e := \mathbf D_e]}$.
La preuve est immédiate par induction sur la taille de $\mathbf M$, en utilisant 1°), 2°) et 3°) ci-dessus.

Le point 4°) justifie la possibilité de traiter $\c {...} {(...)} {(...)}$ comme une égalité dans les calculs puisqu'on peut substituer dans les expressions, des termes avec d'autres dont on a établi qu'ils étaient équivalents avec ceux-ci.
Bref la pratique des calculs de congruences peut se fonder sur 4°)

Avec ces propriétés, on peut montrer rapidement, pour tout entier $n\in \N$ (par récurrence :-D)les relations $\c 3 {10^n} 1$ et $\c 9 {10^n} 1$, ainsi que $\c {11} {10^{2n}} 1$ et $\c {11} {10^{2n+1}} {10}$ utilisées dans la "preuve par 11".

5°) Etant donnés trois entiers $v,w,x$ avec $x$ non nul, $\c x v w$ si et seulement si les restes de $v$ et de $w$ dans la division euclidienne par $x$ sont identiques..
Le reste d'un nombre $a$ dans la division euclidienne par $x$ est l'unique entier $y$ compris entre $0$ et $x-1$ tel qu'il existe $z\in \N$ tel que $a=zx+y$.
Appelons $y_v$ (resp. $y_w$) le reste de $v$ (resp $w$) dans la division euclidienne par $x$. Il existe $z_v,z_w$
entiers tels que $v=z_v x + y_v$ et $w=z_wx+y_w$.
-Si $y_v$ et $y_w$ sont égaux, alors $v+z_w x = z_v x + y_v + z_w x = z_w x + y_v + z_v x = w + z_v x$ et donc $\c x v w$.
-Réciproquement, si $v+nx=w+mx$ pour certains $m,n\in \N$, alors $y_v$ est le reste de $v+nx$ dans la division euclidienne par $x$ (puisque $v+nx = (z_v+n) x + y_v$), de même que $y_w$ est le reste de $w+mx$ par $x$ dans la division euclidienne par $x$. Mais comme $v+nx=w+mx$, on a $y_v=y_w$ par unicité.

Noter aussi que
6°) pour tout $t\in \N$, si $s$ est le reste de $t$ dans la division par $x$ alors $\c x t s$ (puisque le cas échéant on a un $k\in \N$ tel que $t+0\times x = t = kx+s$).

[size=x-small]Où sont les quotients?[/size]

Pour ce qui est d’expliquer, en effet, quelques chiffres suffisent.
Le seul danger à « l’explication » réside dans « vous voyez, ça marche avec deux chiffres, et il se trouve qu’en fait ça marche avec autant de chiffres que l’on souhaite ».

C’est un danger car les élèves aiment à se conforter inconsciemment ou non dans « le prof dit que comme ça marche pour deux chiffres, ça fournit une preuve que ça marche pour autant de chiffres que l’on souhaite ».
J’ai forcé le trait volontairement.
Ils ont tort, oui ! Mais ça laisse des traces.
Ça m’évoque « complète la suite logique 1;2;3;4;... » dont chacun sait qu’il est difficile de convaincre un élève et même certains adultes que « c’est 5 qui est le suivant » n’est pas plus pertinent que « c’est $\pi$ qui est le suivant ».

Je ne crois pas Fin de partie que quiconque n’ait trouvé gratifiant de savoir démontrer ce théorème en lisant qu’un prof ne saurait pas le faire.
Cela doit arriver bien sûr mais dans ce fil je ne l’ai pas ressenti.
C’est plutôt « mais c’est honteux voyons ! » que je lis.

Dom:

Ce qui est honteux n'est pas l'ignorance ce qui est honteux c'est de se moquer de l'ignorance des autres au lieu de la combler quand on pourrait le faire (au moins partiellement). Dans un monde un peu plus idéal normalement ce prof' devrait avoir comblé cette ignorance grâce à son interaction avec Arnaud_G.

Noix-de-Toto: Je t'assure que je ne pensais pas du tout à toi. C'était une réflexion que m'inspirait ce fil dont je ne comprends pas bien la finalité (cf le titre putaclic).

D’accord pour dénoncer les moqueries.
Entre potes, à la limite, on se fiche de l’autre, on le chambre, mais sinon, sauf « se faire plaisir » (mot mal choisi) il n’y a pas d’intérêt, pour personne.

Bon, peut-être m’y suis-je déjà laissé prendre, par facilité...
J’espère qu’on ne m’en apportera pas la preuve 8-)

Dom: une bonne partie des conversations de travail consiste à casser du sucre sur le dos d'un(e) ou des collègues. En tout cas c'est ce que je constate dans l'environnement de travail que je fréquente.

« On sombre... », à croire qu’il n’y a que le métier d’enseignant qui serait touché par la médiocrité. Allez faire un tour du côté des médecins....vous verrez. Et là, pour le coup, ça fait vraiment « mal »!
Sinon, je me garderais bien de « vérifier » les compétences disciplinaires d’un collègue...

Je viens de cacher un certain nombre de messages.
La discussion devient n'importe quoi.
Il est temps de fermer.
AD