Une maladresse très subtile

Bonjour,

Tu as peur que les élèves comprennent : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \div k}$ ou $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \times k}$, c'est ça ?

J-Maths a écrit:

Bon, mis à part le fait qu'on ne parle pas de numérateur et de dénominateur quand on n'a pas d'écriture fractionnaire

Ah bon? On n'a pas le droit d'écrire $\dfrac{1,2}{2,3}$? $1,2$ est le numérateur de cette fraction et $2,3$ son dénominateur.

L'<<erreur subtile>> est qu'on ne suppose pas que $k$ divise $a$ et $b$?

J-Maths:

La propriété dont tu parles est: $a.b=0$ implique $a=0$ OU $b=0$.

Mais ici c'est $a$ ET $b$ non nuls implique $ab$ non nul.

Bah non, c'est la réciproque. C'est la contraposée.

Fin de partie :

écriture fractionnaire : on utilise un trait de fraction, un numérateur, un dénominateur non nul

(écriture en) fraction : écriture fractionnaire avec numérateur et dénominateur entier
Remarque :
Ce n'est pas une fraction que tu proposes, c'est la seule raison de mon message.
Cela dit, le texte ne fait pas mention de ce terme "fraction" (sauf dans le titre) mais plutôt de "quotient", en oubliant de préciser "en écriture fractionnaire" pour pouvoir parler de numérateur et de dénominateur.

(écriture en) fraction décimale : (écriture en) fraction dont le dénominateur est une puissance décimale

quotient : désigne le nombre issu d'une division, on dit parfois "résultat" de la division.
Il existe des détracteurs féroces.
C'est dans le langage, en français que l'on utilise ce termes : "le quotient de 2 par 3" qu'il faut savoir traduire en "le nombre $2\div 3$.

Dans ce cadre on pourrait parler d'écriture en quotient qui serait plutôt : $a\div b$ à distinguer de l'écriture fractionnaire $\frac{a}{b}$.

Rappel : $2\times 3$ est bien la somme de $1$ et $5$ ou encore la différence de $20$ et $14$, ou enfin le quotient de $7,2$ par $1,2$.

Enfin : j'ai mis des parenthèses "(écriture en)" car la majorité des gens que je croise les sous-entendent et parfois ne le savent même pas. Bien entendu, il existe une autre acception du terme "fraction" que j'ai utilisé ici. En effet, cela peut désigner parfois le quotient lui-même (le nombre, donc) et est synonyme de "proportions" (mais avec des entiers).

Marsup:

Une formulation sans défaut, cela n'existe sans doute pas si tu veux une formulation qui ne soit pas à rallonge.

Avec la remarque de J-Maths on devrait rajouter quelque part que $b.k,b/k$ sont non nuls.

Ok, J-Maths, en gros l'élève pourrait dire : "Mais dites donc, on a choisi $b$ non nul et $k$ non nul, mais qu'est-ce qui vous permet d'être sûr que $bk$ est bien non nul ?".


Avocat du diable : avec les programmes par cycle, il n'est plus pertinent de dire "ce n'est pas au programme de 5e" :-D

La lecture axiomatique des programmes de maths au collège ! Comment dire...

Ce n'est pas bien passionnant, ni très productif, à mon avis.

Le problème, pour moi, n'est pas vraiment celui-là.

Le problème, c'est qu'une bonne partie des bacheliers ne comprennent pas la différence entre un + et un $\times$.

Ou bien qu'ils calculent $\Delta$ pour résoudre $x^2 = x$ ou encore $x^2 = 0$ ou $x^2 = 1$.

Le détail de la progression ; s'ils apprennent telle propriété qui crève les yeux à 11 ou à 13 ans...

La maladresse elle ne me saute pas aux yeux et j’ai même envie de dire que je m’en balance royalement! La propriété énoncée ici est très claire pour les élèves et c’est le principal!X:-(

C'est un désaccord de fond.
Tout va dépendre, peut-être, de la consigne.
Si c'est "ouvert", toutes les méthodes sont bonnes.
Si c'est "moins ouvert", il y a débat.

Bien entendu, une remarque sur la copie est la bienvenue : "n'y avait-il pas plus simple ?"

Ha oui, oui.
On peut laisser écrire puisque c’est juste.


Dans ces exercices, dans tous les cas, le plus difficile c’est de trouver ce « 3 ».
Jean-Louis, au fond, dit à chaque fois « mais ça sort d’où ce 3 ? A chaque fois je comprends la correction mais je ne sais pas faire le suivant ! ».

XAX: c'est un phénomène courant en terminale de voir des élèves calculer le discriminant pour des équations comme $x^2-x=0$.
Si un élève calcule le discriminant pour une telle équation* et trouve les bons résultats tu vas lui dire que son résultat est faux, que tu le sanctionnes parce qu'il n'a pas utilisé la méthode que tu souhaiterais qu'il utilise?
C'est le sens que je donne à: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2252848,2252904#msg-2252904

*: ne va pas en déduire que les enseignants l'encouragent. On ne peut pas sanctionner un élève qui donne une réponse correcte avec une méthode correcte sous prétexte que la méthode n'a pas la préférence des enseignants.

Déjà on parlait de l’équation $x^2=x$ et si l’élève a le réflexe de mettre sous la forme $x^2-x=0$ je lui dis déjà bravo. Pour utiliser le discriminant il faut ensuite que l’élève soit capable de repérer les a,b et c, ce qui n’est pas toujours évident dans les cas simples comme celui-ci (et encore, c’est moins piégeux sur ce point pour l’élève qu’un $x^2-4=0$ ou $x^2+4=0$ où bien souvent on a droit à des a=1,b=-4 pour la première et b=4 pour la deuxième et enfin c=0 où 1...). Ici il va prendre a=1, b=-1 et c=???? Là gros doute:-D mince il n’y a rien! C’est 0 ou c’est 1? Certains prendront c=1....(car on ne martèle pas assez que 0 est l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la multiplication). Pour le côté ’’maths’’ (il faut le dire vite!) cela s’arrête ici en général.
Pour la suite il ne faut pas rêver, l’élève sort sa TI ou Casio, rentre directement les 3 coefficients et le tour est joué pour le ’’calcul’’ du discriminant et pour trouver les deux solutions.

Je vois depuis plusieurs années de plus en plus de de profs qui encouragent justement à utiliser le discriminant systématiquement dans tous les cas (même les plus simples) sans passer par les ’’difficiles’’ factorisations par x ou par une identité remarquable (quand cela est possible). Pour les élèves qui savent parfaitement factoriser mais qui veulent absolument utiliser le discriminant car leur prof leur a dit de faire comme ça je lance souvent un chiche! Utilise le discriminant avec $x^2-4=0$! La sortie de route b=-4 est fréquente...vengeance:-D

J'allais écrire exactement la même chose que bisam !

Bisam:

Je ne suis pas sûr qu'écrire $\dfrac{a\times k}{b\times k}=\dfrac{a : k}{b: k}$ soit une très bonne idée.

Au collège rien n'est vraiment défini (ne serait-ce qu'en termes de règles), mais il est implicite que les nombres vivent dans un anneau intègre. La construction de fractions dans le cadre non intègre (localisation d'anneaux) fait appel à des axiomes différents et ne concerne vraiment que les mathématiques à partir du M1 on va dire.

Voir aussi:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,2253102#msg-2253102

Je vois depuis plusieurs années de plus en plus de de profs qui encouragent justement à utiliser le discriminant

Tu es inspecteur pour en voir autant ?

Bon,
1) allez voir dans d’autres pays comment font les élèves pour résoudre $x^2=x$.
2) non, je n’ai jamais observé qu’on encourage à utiliser le discriminant dans ce genre de cas sauf éventuellement pour voir que la formule fonctionne (évidemment) encore
3) xax, c’est pavlovien et je ne donne pas de leçons car j’ai aussi mes marottes. Mais dès que tu te lances dans « l’enseignement en France », j’observe tôt ou tard la fermeture des fils.


bisam,
Oui. Mais des profs que je connais et d’autres sur ce forum même ne veulent pas dire aux élèves certaines choses.
Notamment que $2\times 3$ ne désigne qu’une seul nombre et que c’est l’entier $six$.
Par contre sur le vocabulaire, j’oserais dire que c’est bien un « jeu d’écritures » dans le sens où l’on écrit autrement la même chose, ici le même nombre.